ブログ「サイバー少年」

ブログ「サイバー少年」へようこそ!
小学六年生ごろからプログラミングを趣味にしている高校生のブログです。
勉強したことについての記事などを書いています。フリーソフトも制作、公開しています。
(当ブログについて詳しくは「ブログ概要紹介」を参照)

サイバー少年が作ったフリーソフトは「サイバー少年の作品展示場」へ

体の準同型写像に必要な定義

群・環・体の本を読んでおりましたら、体の準同型写像の定義として、
体L,Kについて、φ:L→Kは

1. φ(x+y) = φ(x) + φ(y)
2. φ(x*y) = φ(x) * φ(y)

を満たすことはもちろんのこと、L,Kの乗法に関する単位元1_L,1_Kについて

3. φ(1_L)  = 1_K

が成り立つならば、L,Kの加法に関する単位元0_L,0_Kと、xの乗法に関する逆元x'について

4. x != 0_Lならばφ(x) != 0_Kおよびφ(x') = φ(x)'

が成り立って、この4つを満たすφが体の準同型写像であるとされていました。


ただ、群の準同型写像が単位元を単位元に写すので、それと同じように簡約法則を使って、3.も1.と2.から導けるんじゃないのと、思っていました。

ただ、環の準同型写像の定義を引き継いでいるような文脈だったので、あえて3.を要請している程度なのだろうかというわけです。


こないだ記事「群・環の同型は同値関係」を書いたときも、完全にそう思っていて、
環の準同型写像の定義が3.を要請することについて、

+に関する単位元が一致することは簡約法則から導けるのですが、*については簡約法則が使えないので環の場合は*に関する単位元1が一致することも条件となります。

と書きました。

しかし、色々と考えたり調べたりしてみたら、どうやら、そんなに簡単な話ではないっぽいです。
結論から言いますと、私が読んでいる本の文脈では3.を要請するっぽいですね。

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tag: 数学 証明 群環体 勉強 命題 写像 公理 論理 同型 ゼロ

群の準同型定理のイメージをやっと掴めた

群の準同型定理ですが、今まで本を読んで論理的に定理として成り立つことは分かっていたのですが、正直なところ言っている意味、イメージが分かりませんでした。

命題のイメージを掴むということは、わりと大事であると思います。

命題が、証明を読んで論理的に推論可能であることだけを知っていても、
結局なにを言ってるんだ??という状態では、どのように命題を利用していけばいいのか見当もつかないですからね。


イメージを掴むことを心がけてはいるのですが、今まで準同型定理はイメージできなかったんですよね。
体論に入っているというのに、最近ようやく理解できました。


準同型写像φ:G→G'について、φによるGの核(これはGの正規部分群)でGを類別した商群と、φによるGの像は同型であるという定理ですが、

残念ながら有限集合でしか通用しないイメージですが、ようするにGの像⊆G'はφが単射でない限りGより小さいので、まずGの核でGを類別してGより小さい商群を作ります。

このとき商群の中身がどうなってるかが肝心です。
これはφでG'に写したときに同じ元になるGの元をまとめた同値類系となっています。
(これを示すために証明が必要ですが、証明は本で読んでそこからイメージしました。)

ですからφが単射なら同値類は、それぞれひとつしか元を持ちません。
そうでなければどこかに2つ以上の元を持つ同値類があります。


そして、この商群とGの像が一対一に対応しているという話ですが、当たり前といえば当たり前であります。

Gの像と対応している商群の同値類は、Gの像と対応していることを考えれば必ず存在しますし、Gの像の中の同じ元へと写されるGの元は同じ同値類に属するはずですから、これは一対一となります。

この一対一の対応に則した写像を定めれば、その写像は全単射となりますね。
あとは、その写像が準同型写像の定義を満たすことが必要ですが、実はこのメカニズムはイメージできていません。

ただ要点は一対一対応があるということだと思うので、まあ大丈夫じゃないかなと思いますね。


ちなみにGの核は商群の元、同値類のひとつですが、φ(e)=e'より、Gの核には必ずGの単位元eが入っているので、
Gの核の元はすべてφ(e)と同じ値になるということでしたので、つまりすべてe'に写しますし、Gの核に入っていないようなφ(a)=e'となるaは存在しません。


以上です。
まだイメージを掴めていない人が、これを読んでも説明がヘタクソすぎてよく分からないと思いますが、私自身はだいぶイメージを掴めて満足しています。

自己満足の記事です。

わりと当たり前のことを言っているだけの定理だったのですが、イメージできたときは少し面白かったですね。

ただ、すごく大事な定理らしいのですが、どのように活用するのかよく分かりません。
どうなんでしょうか。

tag: 数学 証明 群環体 勉強 命題 同値 写像 同型 集合

ブログ最後の一年も後半戦突入!

当ブログは現在、ラストの一年で、来たる四月に更新を終了してしまうわけですが、そのラストの一年も今日から十月、後半戦ですね。

まあ更新終了に向けて色々と身辺整理をするのは、一月になったあたりに本格的に考えようと思うのですが、
一月になっちゃうともう身辺整理のことで忙しくなってしまうと思うので、今やるべきことは、普通のブログ記事は今しか更新できないわけですから、普通の記事の拡充ですね。

これから3ヶ月、魅力的な記事を書いていければと思っております。
ただの理想にすぎないものではありますが…。


まあ案外、肩の力を抜いたほうがいいのかもしれないですよね。

所感としては、なんか大きい成果を、残り半年で出せればなあと思っていたのですが、たとえば、それなりのソフトウェアを作って公開とかですか、そういうのは残念ながら出来そうにないですね。


記事は書くわけですけれども、しばらく数学の勉強を中心にして続けていくのですから、記事のネタも数学中心で、プログラミングの話題はあんまりないかと…。


しかし、まあ、もうすぐ終わるんだなと、こういう区切りがあると改めて実感させられますね。
今日は多少の意識変革があった一日であります。

終活なんていう言葉がありますが、中の人つまり私はまだまだ生きていく予定ですけれども、“サイバー少年”というひとりの存在は余命半年で死んでしまうんだなと、そういったわりと大きな出来事が迫っているんだと考えています。

サイバー少年の終活ですね。
最後に発信できるだけ色々なものを発信して、記録に、そして皆様の記憶に残ることができれば悔いはありません。

問題は、果たしてどれだけ理想どおりに実行できるかということですが…。


ただせっかく、5年半も走り抜けてきて、あと半年なわけです。
ラストスパート頑張ります。


そもそも、更新を続ければいいものを、なぜ期限を設けたのかといいますと、だらだらと自然消滅的にブログが終わってしまうのが嫌だったのです。

もちろん、そういうブログが駄目だと言っているわけではありません。
私も、もう一度ブログを開設する機会があればそういうノリでやっていきたいと思っています。

ただ、このブログ「サイバー少年」は、そういうブログになってほしくなかったのです。

“勉強したこと”まとめ記事も毎月欠かさず更新してきました。
このブログは、キッチリ更新して、キッパリ終わる、厳格なブログにしたかったわけです。


少しオーバーな表現を使うとするなら、このブログには人生を捧げております。
そういった意味で、最後の半年であると思うと、やはり特別な意味を感じます。


ただ先ほども言ったように、少なくとも今後3ヶ月は、肩の力は抜こうと思いますね。
頑張ることと矛盾しているでしょうか。そうでもないかな。

今後ブログ更新をしていくうえで、感じるものは大きいです。
閲覧者の方々も賛同くださり、応援いただければ、これほどまでに嬉しいものはありません。

どうか、あと半年よろしくお願い申し上げます!!!!

tag: ブログ「サイバー少年」 周年 目標 終了 記事

9月

その他で覚えた技術
・群の合同関係(本曰く演算の“両立性”)について考え直した。
・商環について学んだ。
・環の準同型写像、同型写像について学んだ。
・群や環の同型という関係について考えた。

コメント
今回は読んでいる群・環・体の本の環の章を読み終えまして、それからは休息という形で進展がありません。最近は本を閉じて、ひとりで考えている時間も多いです。環の拡大というのも本で読んだのですが、あっさりしすぎていたので項目には入れませんでした。

tag:

群・環の同型は同値関係

今日は読み続けている群・環・体の本の、環の章を読み切りました!
最後は、環A,Bが同型なら、環Aが整域なら環Bも整域であるし、環Aが体なら環Bも体であるという定理の証明でした。

同型ならばイメージとしては、同じ構造をしているので当然、整域だとか体だとかの構造は受け継ぐだろうと思いますが、証明しろって言われると、なかなか難しいですね。


証明を本で読みまして、よくよく考えたら確かに、本質的には同じ構造をしていることを使っているんだろうなぁと思わされるのですが、一見した程度ではどういう発想でこうなったのか理解できません。

数学できる人は的確に何を言えば証明できるのか考えられるんですかね。
私もそんな人間に憧れます。


さて、その整域や体などの構造がAからBへ受け継がれることの証明は、ここでは語りませんが、本では、AとBが同型なら、逆にBからAへと構造を受け継ぐことも真であると主張しており、
なぜならばAとBが同型なら明らかにBとAが同型であるので、AからBへ構造が受け継ぐのと同様の証明で示されるとしています。

ようは同型というのは、それを表す記号から推測したって、どう考えても同値関係であり、ここでは対称律を用いた、と私は読み解きます。


しかしながら、本の中では明確にふたつの環が同型であることが同値関係であることの証明がなされていません。
そこで考えてみて、証明できたのですが、反射律と推移律を示すことは比較的簡単だったものの対称律だけは難しかった!

対称律を主に書いていきたいと思います。

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tag: 数学 勉強 群環体 写像 同値 演算 証明 ブログ「サイバー少年」

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