ブログ「サイバー少年」

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小学六年生ごろからプログラミングを趣味にしている高校生のブログです。
勉強したことについての記事などを書いています。フリーソフトも制作、公開しています。
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ユークリッド整域の定義を見直す

またユークリッド整域の話かよ!!!!
もうすでにイデアルの勉強に移っているんですが、ちょっと前にユークリッド整域で判明した事実があったので、今回は軽くですが記しておきます。

記事「ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足」で、x = 0ならH(x) = 0およびH(x) = 0ならx = 0は定義せずとも定理として成り立つだろうかと疑問を書いていました。

結論からいうと定義しなければ定理としては成り立ちません。
ただ、そもそもユークリッド整域において、これが成り立つ必要はありません。

必要なのは「H(a)がすべてのxにおけるH(x)の最小値ならa = 0」です。
これがあればユークリッドの互除法が使える整域になるわけです。

なぜなら、ユークリッド関数のその他の定義により、元a,b(b != 0)について
a = b×q + rかつH(r) < H(b)となる元q,rが存在しますが、これを互除法で繰り返していくと、どんどんH(r)が小さくなっていって、最小値になったときにr = 0となって、もうbをrで割れないということになります。

H(r)が最小値になったときにr = 0でなければ、さらに割れることになってしまうので、それは困るからr = 0を要請しているということです。

しかし、「それは困る」という事態を詳しく見てみると、
もしH(r)が最小値なのにも関わらずr = 0でないとしたら、さらにbをrで割ることができて、新しい余りをr'とするとH(r') < H(r)でありH(r)が最小であることに反するから、r = 0であるしかありえなくて、実はこの定義すら必要なかったわけです。


また、「H(a)がすべてのxにおけるH(x)の最小値ならa = 0」が成り立つなら逆も成り立ちます。
その説明をするには写像の仕組みを論理的に説明できるスキルが必要ですが私には残念ながら能がないので、イメージになってしまいますが、
すべてのxにおいて最小となるH(a)は必ず存在するので、そのときa = 0なわけですから、aとH(a)が対応している、写像なのでaが他のところにも対応していることはない、つまりH(a)はすべてのxにおけるH(x)の最小値です。

そしてa = 0ですからH(0)はすべてのxにおけるH(x)の最小値です。

これがもし「H(a) = 0ならa = 0」とかだと、逆は一般に成り立ちません。
H(x) = 0となるxが存在しているとは限らないので、0とaの対応が保証できないからです。
すべてのxにおけるH(x)の最小値は必ず、なんらかのxと対応しているので保証できます。
論理的に説明するにはどうしたらいいんだろうか…。


ちなみに、

ユークリッド環 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0

を見てみると、整域に元a,b(b != 0)についてa = b×q + rかつG(r) < G(b)を満たす写像Gが導入できるならば、
さらにそれと加えてH(a×b) >= H(a)を満たす写像Hを導入できることがいえるそうです。

H(a×b) = H(a)ならbは単元というのはどこにいったのか分かりませんが、まあ多分、これも定義せずともいえるんでしょう。(適当)

つまり、元a,b(b != 0)についてa = b×q + rかつH(r) < H(b)を満たす写像Hが導入できる整域であれば“ユークリッド整域”と呼んでいいわけですね。


論理というのは不思議ですね。
一を聞いて十を知るという言葉がまさにふさわしい。
ひとつ公理として定めたらめちゃめちゃ色々な定理が湧き出てきます。

恐らく、これでユークリッド整域についての記事は最後になります。
冒頭でも述べたとおり、イデアルの勉強をやっているので、引き続き頑張ります。

tag: 勉強 数学 群環体 ユークリッド 公理 写像 関数

ユークリッド整域における元と高さの関係

先日に書いた記事「ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足」で


つまりH(x) = 0のところにx = 0が、H(x) = 1のところに単元のxが、H(x) = 2のところに単元と素元のxが、H(x) > 2のところに単元、素元、いくつかの素元の積がすべて分布してる感じですね。


と記述しました。

「単元と素元~」みたいな言い方をANDと解釈するなら間違いですが、まあORと解釈するなら間違った主張ではないんですけどね。

ただ、たとえばH(x) = 2のところに単元または素元のxが分布しているという主張ですが、これは正しくはH(x) = 2となるxについて、それは単元または素元である、という主張にするべきでした。

前回の言い方だとH(x) = 2となるxが必ず存在するかのような主張となっています。


そして、その他の点でも非常にナンセンスな表現であるということに気が付きました。
後述しますが、まず単元はそんな色んなところに分布してなくて、すべて同じ高さのところにあります。

あと、前述のようにORで解釈するなら間違いではないのですが、この主張を読んだときにイメージするのはH(x) = 2のところに素元となるxがあって、H(x) > 2以降において素元の積のxも含まれてくるという感じだと思います。

そのイメージは間違いですが、主張自体は間違いではないので、たしかに読み手が悪いと言えばそうですが、私の書き方にも問題があると思いました。


それは、1という数、2という数を定数として決定してしまっているところです。
実際は定数は決定せずに、色々な元に対する高さの大小関係だけをイメージしてもらえるような書き方にするほうが自然でした。

事の発端はYahoo!知恵袋で、整数に関数Hを導入したときに、H(x) = |x|ではなくH(x) = 2×|x|とすることも可能である、という指摘を受けたことでした。

このときH(x) = 2のところに単元があって、H(x) >= 4以降に素元などがあり、あとH(x)が奇数であることはありえません。

こんなように、定数はまったく変わってくるわけですが、大小関係は変わりません。
そこで今回は、元による高さの大小関係に着目して判明することを書いていきたいと思います。

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tag: 数学 群環体 ユークリッド 考察 勉強 関係 素数 証明 写像 帰納法

7月

その他で覚えた技術
・ユークリッド整域の性質について学んだ。

コメント
今回も前回の勉強疲れを引きずっていたり、風邪で寝込んだりで、決して多くを学んだわけではないですね。最後のほうは少し頑張りました。月末にちょうど書籍のユークリッド整域についての章を読み終えました。

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ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足

私が群・環・体の勉強に使っている本を読んでいたら、以前の記事「[環論] ユークリッド整域で陥った詭弁」にも登場しているユークリッド整域において、

0(零元)でも単元でもない任意の元は素元の積に分解できて、それぞれの素元における単元倍の差を除いて一意である

ということが解説されていたのですが、一意性についてはいいとして、分解可能性の証明に足りない部分があると思ったので、自分なりに考えて補足してみます。

そんな、この本の著者様に意見できるほど優れた人間ではないのですが…(汗)


まず、本では元xの高さH(x)の値に注目して、H(x)がどんな値であってもxが0でも単元でもないなら素元分解可能であることから、任意のxについて0でも単元でもないなら素元分解可能であるということを述べようとしています。

ここがまずちょっと難しいですが、すべてのxは必ずなにかしらの自然数H(x)に対応しているわけですから、すべての自然数において対応するxが性質を満たすことがいえれば、すべてのxにおいて性質を満たすことがいえるわけですよ。

厳密に証明しろと言われると、能力がなくて私にはできないですが…。

逆に、すべてのxについて対応する自然数がある性質を満たすとき、すべての自然数がその性質を満たすという論法は一般には正しくありません。
ただし、xから自然数へ対応させる写像が全射であるなら、上の場合と同じ状況になるので、正しいと思います。

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tag: 勉強 数学 群環体 ユークリッド 素数 証明 約数 帰納法 考察 写像

相互リンクしていた人たちは元気か

うちのブログも長いことやっていますので、色んな当時中学生だったプログラマの方々と相互リンクさせていただいてましたね。

華々しい第一号は“まっちゃ”さん、でした。
まっちゃさんとは当ブログが1年目のころからの付き合いですからね~。

まだブログをやっていらっしゃいますし、超不定期ですが更新もあります。
次はいつ更新してくれるのかな。

久々に近況を聞いてみたいものですね。
これ見てたら生存報告のコメントください。


ブログを始めたばかりのころは、中学生でプログラミングやってる仲間なんているのだろうかと思っていましたから、まっちゃさんとの出会いは衝撃でしたし、いい刺激になりました。


あとAsaBonさん、div9851さん、Raldyさん、FlashBoyさんで構成されるTetra Regulusなんていう企画もありましたね。

このみなさんとも相互リンクしていました。


div9851さんは競技プログラミングで成果を出しかけていたところでしたから、その後も色々やっていたのでしょうか。
現在、大学生だと思いますが、今は何をしてるんでしょうかね~。

div9851さんは本当に実力がありました。
私なんか到底かなわないなと思わされたのは、これまたいい刺激だったと思います。


AsaBonさんは高専に行ったはずなので、まだ高専生ですね。
寮でパソコンが使えない、パソコンが壊れるなどのトラブルがあってネットを去りましたが、今もプログラミングを順調に勉強されているのかな。

最後のほうは人工知能の方面に手を出したりしていて、これまた面白かったんですけどね~。
去ってしまったのは残念です。


Raldyさんは3Dのゲームとか作ってましたか。
考えてみれば、みんな特色のある分野を持っていて面白いことになってたんですね。
マイニチテックというブログが一応、まだ存在しているので、未だリンク中ですが更新はありません。

Raldyさんは行動力があるが故に、今はプログラミング以外のことに手を出していたりしても不思議ではないですね(笑)


FlashBoyさんは自作のFlashゲームが大手ゲーム情報サイトに掲載されてめちゃめちゃブログのアクセス稼いでましたね。
私も記事「HTMLはファイルサイズの無駄遣いだと思う。」がヒットしてFC2ブログランキングの“プログラミング”ジャンルで1位を経験したことがありますが、FlashBoyさんも1位経験者だったはずです。

というか今はいなくなってしまいましたが、瞬間最大風速ではFlashBoyさんのほうが上でした。
いつからか更新がなくなったなと思ったら、久々に現れて、なんか色々あったみたいで、メンタル壊して去ってしまいましたが、元気になってるといいですね。

趣味に打ち込んでみてはどうでしょうか。
Flashゲーム制作でもいいだろうし、ほかの趣味を見つけてもいいだろうし。


あと、刹那さんもリンクしてますね。
ただもう更新してないので、明らかに自然消滅です。
うーん、そう考えてみると地道に更新し続けてきた自分は偉いのか?

私はこの5年以上、更新をサボったことがありません。
まあ性格の問題もありますよねぇ。

飽きっぽい性格の人もいるから、自然消滅もあるけど、そういう人たちは新しいことを自分なりに始めているわけですし。

しかし自然消滅もそうですが、ブログ閉鎖という道を選んだ潔い人たちも結構いましたね。
そういう人のリンクは消してるんで、もう残骸もないですが…。
(実はコメント化してるだけだから見れるんだぜ)


話を戻すと、私はもうブログを書くことが日常化しているので、逆にブログを書けないとなると戸惑います。
ですから今度の四月にブログを終わってしまいますので、どうしようかと悩んでいるわけです。

こうやって昔の知り合いを懐古しているのも、私のブログを終わる前の身辺整理みたいなものですよね。


大抵の人は当ブログの前半(2012~2015)で知り合ったのですが、aridaiさんは後半(2015~現在)で知り合った数少ない(唯一の?)人です。

aridaiさんは今はFC2ブログをやめて自分のドメインを取ってブログをされているのですが、ブログを更新することはあんまりなくて、Twitterを主にやっているようです。

ネット上での活動自体はかなり積極的にやってますね。


みなさん、どのような道を歩んで、今はどうなっているのか気になりますが、私は特に変化なくブログを更新しています。
数学にハマってしまったのは大きすぎる変化ですが…。

そして、とうとう四月にサイバー少年は去ります。
ただブログはやめますが、人間関係リセットするわけではないですので、まっちゃさんやaridaiさん、気軽にメールください。

もし新しいブログを始めたらお知らせしたいと思います。

ブログ更新とか、いろいろ頑張りましょう!

tag: 相互リンク ブログ 中学生 学生 アクセス

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