ブログ「サイバー少年」

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小学六年生ごろからプログラミングを趣味にしている高校生のブログです。
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ユークリッド整域の定義を見直す

またユークリッド整域の話かよ!!!!
もうすでにイデアルの勉強に移っているんですが、ちょっと前にユークリッド整域で判明した事実があったので、今回は軽くですが記しておきます。

記事「ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足」で、x = 0ならH(x) = 0およびH(x) = 0ならx = 0は定義せずとも定理として成り立つだろうかと疑問を書いていました。

結論からいうと定義しなければ定理としては成り立ちません。
ただ、そもそもユークリッド整域において、これが成り立つ必要はありません。

必要なのは「H(a)がすべてのxにおけるH(x)の最小値ならa = 0」です。
これがあればユークリッドの互除法が使える整域になるわけです。

なぜなら、ユークリッド関数のその他の定義により、元a,b(b != 0)について
a = b×q + rかつH(r) < H(b)となる元q,rが存在しますが、これを互除法で繰り返していくと、どんどんH(r)が小さくなっていって、最小値になったときにr = 0となって、もうbをrで割れないということになります。

H(r)が最小値になったときにr = 0でなければ、さらに割れることになってしまうので、それは困るからr = 0を要請しているということです。

しかし、「それは困る」という事態を詳しく見てみると、
もしH(r)が最小値なのにも関わらずr = 0でないとしたら、さらにbをrで割ることができて、新しい余りをr'とするとH(r') < H(r)でありH(r)が最小であることに反するから、r = 0であるしかありえなくて、実はこの定義すら必要なかったわけです。


また、「H(a)がすべてのxにおけるH(x)の最小値ならa = 0」が成り立つなら逆も成り立ちます。
その説明をするには写像の仕組みを論理的に説明できるスキルが必要ですが私には残念ながら能がないので、イメージになってしまいますが、
すべてのxにおいて最小となるH(a)は必ず存在するので、そのときa = 0なわけですから、aとH(a)が対応している、写像なのでaが他のところにも対応していることはない、つまりH(a)はすべてのxにおけるH(x)の最小値です。

そしてa = 0ですからH(0)はすべてのxにおけるH(x)の最小値です。

これがもし「H(a) = 0ならa = 0」とかだと、逆は一般に成り立ちません。
H(x) = 0となるxが存在しているとは限らないので、0とaの対応が保証できないからです。
すべてのxにおけるH(x)の最小値は必ず、なんらかのxと対応しているので保証できます。
論理的に説明するにはどうしたらいいんだろうか…。


ちなみに、

ユークリッド環 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0

を見てみると、整域に元a,b(b != 0)についてa = b×q + rかつG(r) < G(b)を満たす写像Gが導入できるならば、
さらにそれと加えてH(a×b) >= H(a)を満たす写像Hを導入できることがいえるそうです。

H(a×b) = H(a)ならbは単元というのはどこにいったのか分かりませんが、まあ多分、これも定義せずともいえるんでしょう。(適当)

つまり、元a,b(b != 0)についてa = b×q + rかつH(r) < H(b)を満たす写像Hが導入できる整域であれば“ユークリッド整域”と呼んでいいわけですね。


論理というのは不思議ですね。
一を聞いて十を知るという言葉がまさにふさわしい。
ひとつ公理として定めたらめちゃめちゃ色々な定理が湧き出てきます。

恐らく、これでユークリッド整域についての記事は最後になります。
冒頭でも述べたとおり、イデアルの勉強をやっているので、引き続き頑張ります。

tag: 勉強 数学 群環体 ユークリッド 公理 写像 関数

哲学ってどうなのよ

数学をやっていると、とくに数理論理学にぶつかったあたりで哲学との関連性を意識させられるわけですが、
哲学がどのようなことをやっているのか、よく知りません。

論理学が哲学者と数学者によって共に形成されたことは確かだと思いますが。


私は情報科学から移行して数学にハマってしまったように、より根源的なほうの学問(情報科学は数学の上で成り立っている)に興味を持つ傾向があるのですが、

それならば数学は哲学の上で成り立っているじゃないか、という話になると思います。
具体的にいえば数学が論理学の上で成り立っていて、論理学の基礎となるのが哲学です。

ただ、ここまでで述べたとおり論理学は数学の上で成り立っていて、数学は論理学の上で成り立っている、みたいな部分はあるんですよね。

これだけだと循環しているので、やっぱり哲学が最終的な根源となると思います。


ただ、完全にイメージですが、哲学より数学のほうが頭を使う印象がありますね。
私は前述のとおり、より根源的な学問を求める一方で、頭を使いたい欲がありますから、そうなると数学のほうが魅力的に見える。

ただ哲学って何やってるのかがまったく分からないので、哲学は頭を使わないと思い込んでいるのかも知れません。

しかも哲学って数学者が数学に近いアプローチでやっていたり、ぜんぜん違うアプローチで哲学をやってる人がいたりで、範囲が広いですね。


最後に、昔もこのブログで触れましたが、数学者は数学的な事実を宇宙的な真理だと思っていますが、哲学者は数学者が彼らの脳みそで考えられることを考えているだけのゲームみたいなものだと思っているっぽいです。

私も哲学者のほうの意見を支持すると言いました。

あと現代数学の公理主義と相まって、なおさら数学というのは人間の思考の限界に挑戦する究極の頭の体操であり、そうでしかないと思います。


ただ考えてみれば人間風情が自分は神になれると勘違いしてこの世の真理を突き詰めようだなんて、間違いではないでしょうか。

人間はしょせん、哲学なんかせずに、数学というゲームをやっておけばいいんだと思います。

もちろん、数学の基盤となる哲学は重要ですけどね。
ただ、数学の基盤となる哲学は論理学にカテゴライズできると思うので、哲学自体は不要ではないかと。


しかし、もし哲学も決してこの世の真理を突き詰めるものではなく、あくまで人間が見ているこの世界における事実(人間が感じること)を研究する学問であるなら、数学とは違う領域を研究していて面白いと思いますけどね~。

数学は形式科学ですが、哲学は自然科学じゃないの?と思います。


さて、こう言ってきましたが今回の記事は哲学しているんでしょうか。
ただ単に勝手なイメージを書いているだけですが…。

tag: 哲学 論理学 数学 公理 考察

数学の勉強について雑記…

今回の記事は本当に雑記です。
話を体系的に書くという意識がまったく感じられないものであります。

つまりはクソ記事であるということをご承知ください。


私は最近、数学が好きなので、数学の特に数学基礎論という部分について勉強したり考え事していたりするのですが、

…もしかして自分には数学の才能がないのではないかと思ってしまいますね。


まず数学において重要な、発想力が私は大きく欠如していますね。
だから証明しろとか言われても、どのようにすればいいのかわからない。

答えを見ずに自分の力でなんらかの知見を生み出すことができないのは、数学をやる人間としてどうかという感じですね。

無から何かを探すというのは、すごく考えのフィールドが広すぎて、探索しきれないということですね。

まあ、このフィールドの広さの中で知見を生み出すためには、問題を小さく分割してちょっとずつ考えて、
小さな結論をひとつずつ出していって、最後に大きな結論を出すというのが必要になると思うんですが、

なんか私の場合、大雑把になってしまうということですね…。
たぶん、脳のワーキングメモリが足りないので、細分化しても忘れちゃうんですね。

全体を一気に考えないと頭の中のイメージが崩れてしまうというか。
でも、全体を一気に考えるなんて、大きすぎて出来ないということです。

さらに、有限のものに対してはイメージできるとしても、無限のものはイメージ出来ないので、苦手ですね。

たとえば数学的帰納法とかも、苦手です。


さて一方で、すでに答えが書かれてあるときに、答えを読んで理解する力というのは、まあまあかなと思うのですが、

それでも理解力も足りないと、思ってしまいますね…。

いや、なんというか書かれてあるイメージが、日本語に書き下せる場合と、日本語にできない場合があると思うんです。

日本語で考えられるものであればわりと理解できるんですが、日本語にできないものは苦手ですね。
イメージをイメージのままにして考える力がないんですかねぇ…。

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tag: 数学 集合 順序 関係 論理学 述語論理 公理 勉強 偉人 ワーキングメモリ

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