ブログ「サイバー少年」

ブログ「サイバー少年」へようこそ!
小学六年生ごろからプログラミングを趣味にしている高校生のブログです。
勉強したことについての記事などを書いています。フリーソフトも制作、公開しています。
(当ブログについて詳しくは「ブログ概要紹介」を参照)

サイバー少年が作ったフリーソフトは「サイバー少年の作品展示場」へ


当ブログは3月31日をもって更新終了します。

有限体の勉強まとめ (後編)

記事「有限体の勉強まとめ (前編)」の続きです。
これは長くなりますなあ…。
まあ、最後なので気合い入れて執筆していきましょう。

Yahoo!知恵袋でヒントをもらったりしていますが、細かなところは自分で考えた理論展開です。
全体的な理論展開の方針は、私が読んでいた本にならっています。


まず、有限体の話に入る前に、あとで使う定理として、環同型の話をします。
環Q, Rの間に同型写像φ:Q→Rが定義できるとします。

定理1: 単元c∈Qについてφ(c)∈Rは単元である。
証明
すべてのa∈Qについてa = ca'が成り立ちます。
両辺をφに入れてφ(a) = φ(c)*φ(a')が成り立ちます。
任意のx∈Rについてx = φ(a)となるaが存在し、x = φ(c)*φ(a')です。
よってφ(c)は任意のx∈Rを割り切るため、単元です。

定理2: 単元でないa∈Qについてφ(a)∈Rは単元でない。
証明
φの逆写像φ'を利用して、定理1のように
「単元c∈Rについてφ'(c)∈Qは単元である」と言えます。
対偶をとり「単元でないφ'(c)∈Qについてc∈Rは単元でない」と言えます。
これはφ'が全射なのでφ'(c) = aと置けますが、そのときc = φ(a)と表せます。

定理3: 素元p∈Qについてφ(p)∈Rは素元である。
証明
φ(p) = abとなる任意のa,bを置いたとき、φ'(φ(p)) = p = φ'(a)*φ'(b)が成り立ちます。
pは素元なのでφ'(a)とφ'(b)のどちらかは単元です。
定理1よりφ(φ'(a)) = aとφ(φ'(b)) = bのどちらかは必ず単元です。
pは単元でないので定理2よりφ(p)は単元でなく、0でもないのでφ(p)は素元です。


それでは、有限体の話を始めましょう。

続きを読む

tag: 数学 群環体 証明 論理学 多項式 有限 集合 同値 勉強 終活

有限体の勉強まとめ (前編)

できれば昨年中に書いておきたかった有限体の勉強まとめです。
内容が広いので文量はともかく、執筆時間が相当なものになるだろうということで、前編、後編でお送りします。

今のところ予定している配分では、特に後編がかなりヘビーになると思っています。
内容が広いって言っても、広くないんですけどね。
私が書くのが遅いという…。

前編は導入部分の話だけで証明といった証明も特になく、準備運動のようなものです。
いや、前編もかなり時間かけて書いたんですけど。


さて、まず体についてはご存知のものとします。
有限体とは、体を構成している集合が有限集合であるものです。

有限集合ですから要素数を自然数で表すことができます。
この要素数を体の位数と呼びます。

後述する体の要素についての位数というのもあって、両方とも位数という名前ですが別概念です。
同じ名前やめろよと言いたいですが、余談として、たぶん位数がnの体の要素が構成する乗法群が集合の要素数として位数nになるから、なんでしょうね。


なお、ここで体の位数が1、体の要素が1 = 0のひとつだけということは、ありえません。
(このような代数系である場合、零環という名前の環になります。)

この話題は記事「体の準同型写像に必要な定義」でもしましたが、どうやら体の公理系に零環は矛盾しないのだけれど、
零環でない体が充足してくれる魅力的な性質が零環だけ充足してくれないことがあって、テンションだだ下がりだから排除しておきたい、
しかし零環というたったひとつのケースを除外するための公理を設定するのもなんだかなぁって感覚で、暗黙的に体から除外しているみたいですね。

厳密にやるなら体の公理に零環を除外することを加えるべきだと思います。
ただ証明でいちいち「ここで1 = 0ではないので…」と言及するのも面倒ですからねぇ。

数学はフィーリングで考えている部分も大きいので、零環でない体に共通するイメージの論理的妥当性を主張するために零環ではないという条件を持ち出さなければならないのは邪魔です。

続きを読む

tag: 数学 群環体 集合 有限 同値 素数 ユークリッド 勉強 多項式 終活

中学生レベルの文字式に疑心暗鬼になる

インパクトのある記事タイトルを考えたら私は中学生未満と言っているような自虐的なものになってしまいましたが、
基本的なところから、あたりまえとされていることを疑ってみるのは重要で、数学徒として誇らしく思います。

さて、群・環・体の本で体に絡めた話として有理式の話が出てきました。
最初は多項式の分数バージョンで、とくに違いはないだろうと思っていたのですが、だんだんと奇妙な事実が発覚して疑心暗鬼になってしまったわけです。

まず、有理式ではなく普通の多項式における事実をおさらいしてみます。

1. あらゆる係数環の要素aについてf(a) = g(a)ならf(x) = g(x)
2. f(x) = g(x)ならf(a) = g(a)
3. (f(x)×g(x))(a) = f(a)×g(a)
4. (f(x)+g(x))(a) = f(a)+g(a)

すべて、証明したわけではないですが、公理なのかよくわかりませんが、直感的な事実として書きました。

ちなみに関係ないけど今、気づいたのですが、2.は多項式環から係数環への写像を導入できることを示していて、3.と4.と自明な(1)(a) = 1はそれが準同型写像であることを示していますね。

および、1.と2.から、多項式が等しいとは、変数になにを代入しても同じ値を得られるということである、ということなのだと読み解けます。

それでは同じことが有理式に適用できるかを確認してみましょう。

1/2という有理式に(x-1)/(x-1) = 1という有理式を乗算してみます。
1/2 × (x-1)/(x-1) = 1/2 × 1 = 1/2で、結局同じ有理式であるはずです。

つまり1(x-1)/2(x-1) = 1/2です。
約分したら同じですね。

これらが等しいということから、もし多項式と同じことが言えるのだとしたらxになにを代入しても等しい値になるはずです。

x = 0の場合、1(0-1)/2(0-1) = -1/-2 = 1/2、これはOKです。
x = 1の場合、1(1-1)/2(1-1) = 0/0、この時点でアウトです。
0/0は1/2と等しいどころか、分母が0なのでもはや数ではありません。

ここで有理式は変数に値を代入しても必ず結果の値を得られるわけではないことに気づいてしまいました。

しかも、等しい有理式に同じ値を代入したにも関わらず値を得られたり得られなかったりするときたもんですから、有理式が等しいという状態は多項式の場合と同じものだとはいえないようです。

一体、有理式が等しいとはどういうことを言っているのでしょうか。

続きを読む

tag: 数学 群環体 分数 証明 多項式 同型 有理数 同値 順序組

当ブログをご利用(閲覧等)になる場合は必ず「当ブログの利用規定」をお守りください。