ブログ「サイバー少年」

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小学六年生ごろからプログラミングを趣味にしている高校生のブログです。
勉強したことについての記事などを書いています。フリーソフトも制作、公開しています。
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ユークリッド整域における元と高さの関係

先日に書いた記事「ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足」で


つまりH(x) = 0のところにx = 0が、H(x) = 1のところに単元のxが、H(x) = 2のところに単元と素元のxが、H(x) > 2のところに単元、素元、いくつかの素元の積がすべて分布してる感じですね。


と記述しました。

「単元と素元~」みたいな言い方をANDと解釈するなら間違いですが、まあORと解釈するなら間違った主張ではないんですけどね。

ただ、たとえばH(x) = 2のところに単元または素元のxが分布しているという主張ですが、これは正しくはH(x) = 2となるxについて、それは単元または素元である、という主張にするべきでした。

前回の言い方だとH(x) = 2となるxが必ず存在するかのような主張となっています。


そして、その他の点でも非常にナンセンスな表現であるということに気が付きました。
後述しますが、まず単元はそんな色んなところに分布してなくて、すべて同じ高さのところにあります。

あと、前述のようにORで解釈するなら間違いではないのですが、この主張を読んだときにイメージするのはH(x) = 2のところに素元となるxがあって、H(x) > 2以降において素元の積のxも含まれてくるという感じだと思います。

そのイメージは間違いですが、主張自体は間違いではないので、たしかに読み手が悪いと言えばそうですが、私の書き方にも問題があると思いました。


それは、1という数、2という数を定数として決定してしまっているところです。
実際は定数は決定せずに、色々な元に対する高さの大小関係だけをイメージしてもらえるような書き方にするほうが自然でした。

事の発端はYahoo!知恵袋で、整数に関数Hを導入したときに、H(x) = |x|ではなくH(x) = 2×|x|とすることも可能である、という指摘を受けたことでした。

このときH(x) = 2のところに単元があって、H(x) >= 4以降に素元などがあり、あとH(x)が奇数であることはありえません。

こんなように、定数はまったく変わってくるわけですが、大小関係は変わりません。
そこで今回は、元による高さの大小関係に着目して判明することを書いていきたいと思います。

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tag: 数学 群環体 ユークリッド 考察 勉強 関係 素数 証明 写像 帰納法

ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足

私が群・環・体の勉強に使っている本を読んでいたら、以前の記事「[環論] ユークリッド整域で陥った詭弁」にも登場しているユークリッド整域において、

0(零元)でも単元でもない任意の元は素元の積に分解できて、それぞれの素元における単元倍の差を除いて一意である

ということが解説されていたのですが、一意性についてはいいとして、分解可能性の証明に足りない部分があると思ったので、自分なりに考えて補足してみます。

そんな、この本の著者様に意見できるほど優れた人間ではないのですが…(汗)


まず、本では元xの高さH(x)の値に注目して、H(x)がどんな値であってもxが0でも単元でもないなら素元分解可能であることから、任意のxについて0でも単元でもないなら素元分解可能であるということを述べようとしています。

ここがまずちょっと難しいですが、すべてのxは必ずなにかしらの自然数H(x)に対応しているわけですから、すべての自然数において対応するxが性質を満たすことがいえれば、すべてのxにおいて性質を満たすことがいえるわけですよ。

厳密に証明しろと言われると、能力がなくて私にはできないですが…。

逆に、すべてのxについて対応する自然数がある性質を満たすとき、すべての自然数がその性質を満たすという論法は一般には正しくありません。
ただし、xから自然数へ対応させる写像が全射であるなら、上の場合と同じ状況になるので、正しいと思います。

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tag: 勉強 数学 群環体 ユークリッド 素数 証明 約数 帰納法 考察 写像

ペアノの公理と特殊な数学的帰納法

今回は、あんまり深く考えないで数学について記事にしようということで、以前の記事で数学的帰納法を使ったときに思ったことを書きます。

あんまり考えて書いていないので、特に新たな発見をしたわけではないのですが、ちょっとしたアイデアとして。


数学的帰納法は、なにも0や1(自然数の最初の数)から始まって1つ後ろの数、その1つ後ろの数というふうにドミノ倒しされるとは限らず、

0や1でない自然数から始まって、1つ後ろでないところの数へとドミノ倒しされることがあります。

数学的帰納法の応用ですね。
我らがWikipediaにも書いてあります。

数学的帰納法 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95


そんでもって、数学的帰納法は形式論理で扱うときにどのようになるかというと、自然数に関する公理のひとつとなります。

ペアノの公理というやつで、それの一番最後の公理が数学的帰納法を正当化するための公理となります。

ペアノの公理 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86


余談ですが、こういうふうに自然数はどんな性質なんだろうと突き詰めて公理を発見するのではなく、自然数とはこういうものなんだという性質を、神ではない我々が定義することができるというのは、なんか数学の面白さのひとつですよね~。

まあ、私が定義できるほど実力はないのですが…。
ただ、こういう公理主義的な考えの上での数学は、自分で作れるという意味でプログラミングと似ていると思います。

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tag: 数学 論理学 論理式 自然数 考察 命題 形式 帰納法

順序集合を並べるアルゴリズム

たいした内容ではないのですが、また数学のネタです。

今日は脳みそのコンディションが悪いので、読むに耐えないクソ記事になっているかもしれないですが…。

半順序関係が与えられた集合に対して、その半順序関係の情報に基づいて一列に並べるアルゴリズムについて考えていました。

その集合は“有限”の集合であると但し書きしないといけませんね。
なんか全部、有限であることが前提みたいに考えてしまうのは、情報系の人間の悪い癖だと思います。


さてしかし、普通、全順序関係じゃないと一列に並べられないんじゃないかということなのですが、

ここでは任意の元x,yについて、x <= yという順序関係があるとき、yは必ずxの右(上でもいいからとにかく大きい側の方向を定める)に来るという条件を充足するように、半順序集合の全ての元を一列に並べることを、一列に並べることとします。


つまり、大小比較できない二つの元については、どんな順番でもいいから無理やり一列に並べて、
大小比較できる二つの元については確実に、大きい元が大きい側になるように並べるということです。


このような一列を生成するアルゴリズムを、考えたわけなのですが、アルゴリズム自体はクソ簡単なものです。

そもそも私は難しいアルゴリズムを考案できるほどの脳みそがないので…。

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tag: 数学 集合 順序 関係 アルゴリズム 計算 帰納法 証明 地図

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