私が数学(大学でやるような理論を読む数学)の勉強を始めたのは、ちょうど当ブログの記事「集合と写像の勉強まとめ」を書いていたあたりからですから、2年以上数学をやってきたことになります。
今では群・環・体の本も読み終えて、有限体のまとめ記事を最後に当ブログに書き残すことができて、一段落したなと感じますね。
(記事「有限体の勉強まとめ (前編)」、記事「有限体の勉強まとめ (後編)」を参照)
今はしばらく数学から離れて他の勉強をする期間を設けようということで、基本情報技術者試験(FE)の勉強をしています。
FEの勉強をしていて思うのですが、情報科学って別に暗記する学問ではないんですよ。
めちゃめちゃ物事の因果関係があってシステムが構築されてるので、論理的な推論というのは多く行うのですが、ただ、なんか数学の理論構築とは違うんですよね。
情報科学は「定義→性質→定義→性質…」みたいに自明な推論をひたすら積み重ねていく感じがあって、理論を読むという意味では面白みに欠けます。
いや、まあ分野にもよるんでしょうけど。
その反面、数学の理論は、ご存知のとおり、「こんな発想してくるか！？」という推論が多くて、頭は使いますが、面白いです。
頭は使うというのが問題なんですけどね。
読む程度なら、なんとかついていけるレベルですが、自分で証明を考えるとかだと、私には到底不可能な思考を迫られます。
結局、私が今まで自分で考えてきた証明って、情報科学じゃないけど自明に自明を重ねた結果、ちょっと背伸びした推論ができたってだけですからねぇ。
要するに私の脳みそのレベルでは情報科学やってろって話なのですが、情報科学も曲者で、推論はシンプルですが、色んな要素がごちゃごちゃしていて、複雑なんですよね。
数学って意外と導入される概念は少なくて、シンプルに事が運ぶんですが、情報科学は登場人物が多すぎて、しかも場合によっては覚えることを必要としますから、これはこれで難しい。
それが原因で、今はFEの対策本を読んでいますけど苦痛ですね～。
数学の本を読んでいるときは、たまげた発想は自分では出来ないけれど、読むのは頑張れば出来るので、達成したときの喜びがクセになります。
読んでいて分からない間は、とんでもない苦痛で二度と数学などやるものかと思うんですが、結局なんとなく理解してしまって、もう一回ってふうに数学やっちゃうんですよね(違法薬物)。
情報科学は前述のとおり、読んでいて分からないってことは、あんまり無いのですが、とにかく面倒くさい、それだけです。
ですから単純作業、しかも記憶力がない私に大量の記憶を要求してくるので、これは苦痛です。
FEの勉強、はやく終わらねえかな、と本を読んでいて毎回のように思うんですけどね。
情報科学は、理論はつまらないので、理論を応用して自分でソフトなりハードなりを作り上げることをモチベーションにしないと、やってられないですね。
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今回は、あんまり深く考えないで数学について記事にしようということで、以前の記事で数学的帰納法を使ったときに思ったことを書きます。
あんまり考えて書いていないので、特に新たな発見をしたわけではないのですが、ちょっとしたアイデアとして。
数学的帰納法は、なにも0や1(自然数の最初の数)から始まって1つ後ろの数、その1つ後ろの数というふうにドミノ倒しされるとは限らず、
0や1でない自然数から始まって、1つ後ろでないところの数へとドミノ倒しされることがあります。
数学的帰納法の応用ですね。
我らがWikipediaにも書いてあります。
数学的帰納法 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
そんでもって、数学的帰納法は形式論理で扱うときにどのようになるかというと、自然数に関する公理のひとつとなります。
ペアノの公理というやつで、それの一番最後の公理が数学的帰納法を正当化するための公理となります。
ペアノの公理 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
余談ですが、こういうふうに自然数はどんな性質なんだろうと突き詰めて公理を発見するのではなく、自然数とはこういうものなんだという性質を、神ではない我々が定義することができるというのは、なんか数学の面白さのひとつですよね～。
まあ、私が定義できるほど実力はないのですが…。
ただ、こういう公理主義的な考えの上での数学は、自分で作れるという意味でプログラミングと似ていると思います。
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論理学の勉強で自然演繹を学んだので、とうとうご紹介したいと思います。
論理学といえば自然演繹、自然演繹といえば論理学ですね。
いや、そんなにでもないか…。
自然演繹を紹介するとは言っても正直なところ、健全性や完全性の証明とかそんな深入りして紹介するのは大規模過ぎて難しいので、
さらっと規則を紹介したり、具体例を示したり、で済まそうと思いますが。
あと、述語論理での扱いも入れたかったのですが、面倒なのと、固有変数条件あたり熱弁して空回りするクソ解説を生産しそうなので、命題論理にとどめておきました。
自然演繹は論理学の形式的証明の方法のひとつで、自然演繹の他には、
ヒルベルト式と呼ばれる矢印だらけの気色の悪い、仕組みは単純だけど使うのが難しいものとか、
シークエント計算という、これはまだ勉強中なのでコメントしづらいんですが、シークエントというものに対してゴニョゴニョしていくものなどがあります。
ちなみに、自然演繹とシークエント計算は、同じゲンツェンという人が発明したそうです。
さて、今回の記事は前編と後編ではなく、ひとつの記事で完結しますが、執筆には2日間かけています。
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