ブログ「サイバー少年」

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当ブログは3月31日をもって更新終了します。

有限体の勉強まとめ (後編)

記事「有限体の勉強まとめ (前編)」の続きです。
これは長くなりますなあ…。
まあ、最後なので気合い入れて執筆していきましょう。

Yahoo!知恵袋でヒントをもらったりしていますが、細かなところは自分で考えた理論展開です。
全体的な理論展開の方針は、私が読んでいた本にならっています。


まず、有限体の話に入る前に、あとで使う定理として、環同型の話をします。
環Q, Rの間に同型写像φ:Q→Rが定義できるとします。

定理1: 単元c∈Qについてφ(c)∈Rは単元である。
証明
すべてのa∈Qについてa = ca'が成り立ちます。
両辺をφに入れてφ(a) = φ(c)*φ(a')が成り立ちます。
任意のx∈Rについてx = φ(a)となるaが存在し、x = φ(c)*φ(a')です。
よってφ(c)は任意のx∈Rを割り切るため、単元です。

定理2: 単元でないa∈Qについてφ(a)∈Rは単元でない。
証明
φの逆写像φ'を利用して、定理1のように
「単元c∈Rについてφ'(c)∈Qは単元である」と言えます。
対偶をとり「単元でないφ'(c)∈Qについてc∈Rは単元でない」と言えます。
これはφ'が全射なのでφ'(c) = aと置けますが、そのときc = φ(a)と表せます。

定理3: 素元p∈Qについてφ(p)∈Rは素元である。
証明
φ(p) = abとなる任意のa,bを置いたとき、φ'(φ(p)) = p = φ'(a)*φ'(b)が成り立ちます。
pは素元なのでφ'(a)とφ'(b)のどちらかは単元です。
定理1よりφ(φ'(a)) = aとφ(φ'(b)) = bのどちらかは必ず単元です。
pは単元でないので定理2よりφ(p)は単元でなく、0でもないのでφ(p)は素元です。


それでは、有限体の話を始めましょう。

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tag: 数学 群環体 証明 論理学 多項式 有限 集合 同値 勉強 終活

有限体の勉強まとめ (前編)

できれば昨年中に書いておきたかった有限体の勉強まとめです。
内容が広いので文量はともかく、執筆時間が相当なものになるだろうということで、前編、後編でお送りします。

今のところ予定している配分では、特に後編がかなりヘビーになると思っています。
内容が広いって言っても、広くないんですけどね。
私が書くのが遅いという…。

前編は導入部分の話だけで証明といった証明も特になく、準備運動のようなものです。
いや、前編もかなり時間かけて書いたんですけど。


さて、まず体についてはご存知のものとします。
有限体とは、体を構成している集合が有限集合であるものです。

有限集合ですから要素数を自然数で表すことができます。
この要素数を体の位数と呼びます。

後述する体の要素についての位数というのもあって、両方とも位数という名前ですが別概念です。
同じ名前やめろよと言いたいですが、余談として、たぶん位数がnの体の要素が構成する乗法群が集合の要素数として位数nになるから、なんでしょうね。


なお、ここで体の位数が1、体の要素が1 = 0のひとつだけということは、ありえません。
(このような代数系である場合、零環という名前の環になります。)

この話題は記事「体の準同型写像に必要な定義」でもしましたが、どうやら体の公理系に零環は矛盾しないのだけれど、
零環でない体が充足してくれる魅力的な性質が零環だけ充足してくれないことがあって、テンションだだ下がりだから排除しておきたい、
しかし零環というたったひとつのケースを除外するための公理を設定するのもなんだかなぁって感覚で、暗黙的に体から除外しているみたいですね。

厳密にやるなら体の公理に零環を除外することを加えるべきだと思います。
ただ証明でいちいち「ここで1 = 0ではないので…」と言及するのも面倒ですからねぇ。

数学はフィーリングで考えている部分も大きいので、零環でない体に共通するイメージの論理的妥当性を主張するために零環ではないという条件を持ち出さなければならないのは邪魔です。

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