ブログ「サイバー少年」

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小学六年生ごろからプログラミングを趣味にしている高校生のブログです。
勉強したことについての記事などを書いています。フリーソフトも制作、公開しています。
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群・環の同型は同値関係

今日は読み続けている群・環・体の本の、環の章を読み切りました!
最後は、環A,Bが同型なら、環Aが整域なら環Bも整域であるし、環Aが体なら環Bも体であるという定理の証明でした。

同型ならばイメージとしては、同じ構造をしているので当然、整域だとか体だとかの構造は受け継ぐだろうと思いますが、証明しろって言われると、なかなか難しいですね。


証明を本で読みまして、よくよく考えたら確かに、本質的には同じ構造をしていることを使っているんだろうなぁと思わされるのですが、一見した程度ではどういう発想でこうなったのか理解できません。

数学できる人は的確に何を言えば証明できるのか考えられるんですかね。
私もそんな人間に憧れます。


さて、その整域や体などの構造がAからBへ受け継がれることの証明は、ここでは語りませんが、本では、AとBが同型なら、逆にBからAへと構造を受け継ぐことも真であると主張しており、
なぜならばAとBが同型なら明らかにBとAが同型であるので、AからBへ構造が受け継ぐのと同様の証明で示されるとしています。

ようは同型というのは、それを表す記号から推測したって、どう考えても同値関係であり、ここでは対称律を用いた、と私は読み解きます。


しかしながら、本の中では明確にふたつの環が同型であることが同値関係であることの証明がなされていません。
そこで考えてみて、証明できたのですが、反射律と推移律を示すことは比較的簡単だったものの対称律だけは難しかった!

対称律を主に書いていきたいと思います。

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tag: 数学 勉強 群環体 写像 同値 演算 証明 ブログ「サイバー少年」

商群と演算の両立性と、ときどき正規部分群

私が読んでいる群・環・体の本では、環の章を読んでいるのですが「環RをイデアルIで類別する同値関係は加法、減法、乗法に関してRの元と両立する」と書いていて、ここの減法に関しても両立するというところに注目していただきたいのですが、

加法、減法に関して両立するのはRを群と見なすと、この同値関係はRを正規部分群Iで類別する同値関係になるから、これが加法、減法に関して両立するのは群の章で証明したよね、という説明になっていました。


(なお念のため説明しておくと、同値関係が演算△に関して両立しているとは、aとbが同値、cとdが同値ならa△cとb△dが同値であることを表します。)


しかし、群の章を読み返してみると、加法に関して両立することしか書いておらず、「あれれ?減法はなんで両立してるんだ?」と思ったわけです。

そんでもって少し考えたのですが、「あ、環Rは群と違って加法に関して必ず可換だ」と、思いつきました。

a,b∈Rについてaとbが同値、記号で書けばa~bとはa + (-b) ∈ Iだったのですが、可換律よりa + (-b) = -b + a = -b + (-(-a) ∈ Iなので、-b~-a、対称律より-a~-b、つまりa~bならば-a~-bとなります。

ここで、x,y,a,b∈Rについてx~y,a~bだった場合、x~y,-a~-bとなりますので、加法に関しては両立していたのでx+(-a) ~ y+(-b)、ということで減法に関しても両立していることがわかりました。

要するに、これを環の話だけでなく群の話に還元すると、その群が可換群であれば部分群で類別する同値関係は減法に関しても両立する、ということになります。


しかし、実は可換群でなくても、加法に関して両立しているなら必然的に減法に関しても両立しているということが後の考察により判明しましたので、それに気づくまでの過程を記していきたいと思います。

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tag: 数学 群環体 勉強 写像 演算 同値 可換律 証明 イデアル

命題論理の意味論まとめ (前編)

記事「集合と写像の勉強まとめ」なんかも書きましたが、
昨年末から論理学の勉強を継続的にしていて、京都大学の教授の方のサイトをずっと見ています。

そういえばこの前、このサイトが書籍化されたらしい本を見かけました。


今回、命題論理、とくに意味論について書かれてある部分を、ようやく読破しましたので、そのまとめとしてお書きしようと思います。


そういえば昔も論理学について放送大学で学んで、記事「記号論理学という学問を知ってみたが」を書いたことがありました。

あのときは今回の命題論理よりハイグレードな述語論理だったんですが、数学的で厳密な定義はおいといて実用的な論理学をやるみたいなものでしたので、

今回は厳密な部分をとばさずに再挑戦しているみたいな感じですね。

記事の書き方も、あの記事ではトップダウン的な説明でしたが、今回はボトムアップ的であると思います。


ところで、意味論とか構文論ってどういうことなのかイマイチ入ってこないのですが、“命題論理の意味論”なのか“意味論の命題論理”なのか、どっちなんでしょうか。

一応、“命題論理の意味論”と書いてあったので、そういうことにしておきますが…。


あと、記事「集合と写像の勉強まとめ」と続編記事「続・集合と写像の勉強まとめ ~ブール代数も~」、
で書いた数学の知識は正直ほとんど使わなかったと思うのですが、最初の根源的な定義をするところで少しその知識がいりますね。


少なくとも演算というのが何なのか理解する必要がありますし、演算というのがなんのか理解するには写像についての理解、ひいては集合とは何か…

数学は少しずつ積み上げる学問なので、学校で嫌われるんですね。


今回、ひとつの記事に収めるつもりだったのですが、すごく基本的な話をしただけで無駄に長くしてしまったので、これを前編として次回、後編を書こうと思います。

お楽しみにしていてください。

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tag: 数学 論理学 演算 論理式 命題 命題論理 集合 意味論

続・集合と写像の勉強まとめ ~ブール代数も~

前回記事「集合と写像の勉強まとめ」で、“関係”というものについてまで書きたかったのですが、
疲れて打ちきってしまったので、今回さっさと書いてしまいます。

また、あのあと“ブール代数”とは何かについても勉強したので、それも書きます。

と言っても、ブール代数の定義を見ただけで、使い方とかはまだなので、何なのかよくわからないままなんですけどね。

さて、この記事は前回記事を読んでいることを前提に書きますので、ご注意ください。
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tag: 数学 論理学 集合 写像 関係 グラフ 述語 演算 ブール代数

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