ブログ「サイバー少年」

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小学六年生ごろからプログラミングを趣味にしている高校生のブログです。
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ペアノの公理と特殊な数学的帰納法

今回は、あんまり深く考えないで数学について記事にしようということで、以前の記事で数学的帰納法を使ったときに思ったことを書きます。

あんまり考えて書いていないので、特に新たな発見をしたわけではないのですが、ちょっとしたアイデアとして。


数学的帰納法は、なにも0や1(自然数の最初の数)から始まって1つ後ろの数、その1つ後ろの数というふうにドミノ倒しされるとは限らず、

0や1でない自然数から始まって、1つ後ろでないところの数へとドミノ倒しされることがあります。

数学的帰納法の応用ですね。
我らがWikipediaにも書いてあります。

数学的帰納法 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95


そんでもって、数学的帰納法は形式論理で扱うときにどのようになるかというと、自然数に関する公理のひとつとなります。

ペアノの公理というやつで、それの一番最後の公理が数学的帰納法を正当化するための公理となります。

ペアノの公理 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86


余談ですが、こういうふうに自然数はどんな性質なんだろうと突き詰めて公理を発見するのではなく、自然数とはこういうものなんだという性質を、神ではない我々が定義することができるというのは、なんか数学の面白さのひとつですよね~。

まあ、私が定義できるほど実力はないのですが…。
ただ、こういう公理主義的な考えの上での数学は、自分で作れるという意味でプログラミングと似ていると思います。

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tag: 数学 論理学 論理式 自然数 考察 命題 形式 帰納法

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