ブログ「サイバー少年」

ブログ「サイバー少年」へようこそ!
小学六年生ごろからプログラミングを趣味にしている高校生のブログです。
勉強したことについての記事などを書いています。フリーソフトも制作、公開しています。
(当ブログについて詳しくは「ブログ概要紹介」を参照)

サイバー少年が作ったフリーソフトは「サイバー少年の作品展示場」へ

中学生レベルの文字式に疑心暗鬼になる

インパクトのある記事タイトルを考えたら私は中学生未満と言っているような自虐的なものになってしまいましたが、
基本的なところから、あたりまえとされていることを疑ってみるのは重要で、数学徒として誇らしく思います。

さて、群・環・体の本で体に絡めた話として有理式の話が出てきました。
最初は多項式の分数バージョンで、とくに違いはないだろうと思っていたのですが、だんだんと奇妙な事実が発覚して疑心暗鬼になってしまったわけです。

まず、有理式ではなく普通の多項式における事実をおさらいしてみます。

1. あらゆる係数環の要素aについてf(a) = g(a)ならf(x) = g(x)
2. f(x) = g(x)ならf(a) = g(a)
3. (f(x)×g(x))(a) = f(a)×g(a)
4. (f(x)+g(x))(a) = f(a)+g(a)

すべて、証明したわけではないですが、公理なのかよくわかりませんが、直感的な事実として書きました。

ちなみに関係ないけど今、気づいたのですが、2.は多項式環から係数環への写像を導入できることを示していて、3.と4.と自明な(1)(a) = 1はそれが準同型写像であることを示していますね。

および、1.と2.から、多項式が等しいとは、変数になにを代入しても同じ値を得られるということである、ということなのだと読み解けます。

それでは同じことが有理式に適用できるかを確認してみましょう。

1/2という有理式に(x-1)/(x-1) = 1という有理式を乗算してみます。
1/2 × (x-1)/(x-1) = 1/2 × 1 = 1/2で、結局同じ有理式であるはずです。

つまり1(x-1)/2(x-1) = 1/2です。
約分したら同じですね。

これらが等しいということから、もし多項式と同じことが言えるのだとしたらxになにを代入しても等しい値になるはずです。

x = 0の場合、1(0-1)/2(0-1) = -1/-2 = 1/2、これはOKです。
x = 1の場合、1(1-1)/2(1-1) = 0/0、この時点でアウトです。
0/0は1/2と等しいどころか、分母が0なのでもはや数ではありません。

ここで有理式は変数に値を代入しても必ず結果の値を得られるわけではないことに気づいてしまいました。

しかも、等しい有理式に同じ値を代入したにも関わらず値を得られたり得られなかったりするときたもんですから、有理式が等しいという状態は多項式の場合と同じものだとはいえないようです。

一体、有理式が等しいとはどういうことを言っているのでしょうか。

続きを読む

tag: 数学 群環体 分数 証明 多項式 同型 有理数 同値 順序組

体の準同型写像に必要な定義

群・環・体の本を読んでおりましたら、体の準同型写像の定義として、
体L,Kについて、φ:L→Kは

1. φ(x+y) = φ(x) + φ(y)
2. φ(x*y) = φ(x) * φ(y)

を満たすことはもちろんのこと、L,Kの乗法に関する単位元1_L,1_Kについて

3. φ(1_L)  = 1_K

が成り立つならば、L,Kの加法に関する単位元0_L,0_Kと、xの乗法に関する逆元x'について

4. x != 0_Lならばφ(x) != 0_Kおよびφ(x') = φ(x)'

が成り立って、この4つを満たすφが体の準同型写像であるとされていました。


ただ、群の準同型写像が単位元を単位元に写すので、それと同じように簡約法則を使って、3.も1.と2.から導けるんじゃないのと、思っていました。

ただ、環の準同型写像の定義を引き継いでいるような文脈だったので、あえて3.を要請している程度なのだろうかというわけです。


こないだ記事「群・環の同型は同値関係」を書いたときも、完全にそう思っていて、
環の準同型写像の定義が3.を要請することについて、

+に関する単位元が一致することは簡約法則から導けるのですが、*については簡約法則が使えないので環の場合は*に関する単位元1が一致することも条件となります。

と書きました。

しかし、色々と考えたり調べたりしてみたら、どうやら、そんなに簡単な話ではないっぽいです。
結論から言いますと、私が読んでいる本の文脈では3.を要請するっぽいですね。

続きを読む

tag: 数学 証明 群環体 勉強 命題 写像 公理 論理 同型 ゼロ

群の準同型定理のイメージをやっと掴めた

群の準同型定理ですが、今まで本を読んで論理的に定理として成り立つことは分かっていたのですが、正直なところ言っている意味、イメージが分かりませんでした。

命題のイメージを掴むということは、わりと大事であると思います。

命題が、証明を読んで論理的に推論可能であることだけを知っていても、
結局なにを言ってるんだ??という状態では、どのように命題を利用していけばいいのか見当もつかないですからね。


イメージを掴むことを心がけてはいるのですが、今まで準同型定理はイメージできなかったんですよね。
体論に入っているというのに、最近ようやく理解できました。


準同型写像φ:G→G'について、φによるGの核(これはGの正規部分群)でGを類別した商群と、φによるGの像は同型であるという定理ですが、

残念ながら有限集合でしか通用しないイメージですが、ようするにGの像⊆G'はφが単射でない限りGより小さいので、まずGの核でGを類別してGより小さい商群を作ります。

このとき商群の中身がどうなってるかが肝心です。
これはφでG'に写したときに同じ元になるGの元をまとめた同値類系となっています。
(これを示すために証明が必要ですが、証明は本で読んでそこからイメージしました。)

ですからφが単射なら同値類は、それぞれひとつしか元を持ちません。
そうでなければどこかに2つ以上の元を持つ同値類があります。


そして、この商群とGの像が一対一に対応しているという話ですが、当たり前といえば当たり前であります。

Gの像と対応している商群の同値類は、Gの像と対応していることを考えれば必ず存在しますし、Gの像の中の同じ元へと写されるGの元は同じ同値類に属するはずですから、これは一対一となります。

この一対一の対応に則した写像を定めれば、その写像は全単射となりますね。
あとは、その写像が準同型写像の定義を満たすことが必要ですが、実はこのメカニズムはイメージできていません。

ただ要点は一対一対応があるということだと思うので、まあ大丈夫じゃないかなと思いますね。


ちなみにGの核は商群の元、同値類のひとつですが、φ(e)=e'より、Gの核には必ずGの単位元eが入っているので、
Gの核の元はすべてφ(e)と同じ値になるということでしたので、つまりすべてe'に写しますし、Gの核に入っていないようなφ(a)=e'となるaは存在しません。


以上です。
まだイメージを掴めていない人が、これを読んでも説明がヘタクソすぎてよく分からないと思いますが、私自身はだいぶイメージを掴めて満足しています。

自己満足の記事です。

わりと当たり前のことを言っているだけの定理だったのですが、イメージできたときは少し面白かったですね。

ただ、すごく大事な定理らしいのですが、どのように活用するのかよく分かりません。
どうなんでしょうか。

tag: 数学 証明 群環体 勉強 命題 同値 写像 同型 集合

群・環の同型は同値関係

今日は読み続けている群・環・体の本の、環の章を読み切りました!
最後は、環A,Bが同型なら、環Aが整域なら環Bも整域であるし、環Aが体なら環Bも体であるという定理の証明でした。

同型ならばイメージとしては、同じ構造をしているので当然、整域だとか体だとかの構造は受け継ぐだろうと思いますが、証明しろって言われると、なかなか難しいですね。


証明を本で読みまして、よくよく考えたら確かに、本質的には同じ構造をしていることを使っているんだろうなぁと思わされるのですが、一見した程度ではどういう発想でこうなったのか理解できません。

数学できる人は的確に何を言えば証明できるのか考えられるんですかね。
私もそんな人間に憧れます。


さて、その整域や体などの構造がAからBへ受け継がれることの証明は、ここでは語りませんが、本では、AとBが同型なら、逆にBからAへと構造を受け継ぐことも真であると主張しており、
なぜならばAとBが同型なら明らかにBとAが同型であるので、AからBへ構造が受け継ぐのと同様の証明で示されるとしています。

ようは同型というのは、それを表す記号から推測したって、どう考えても同値関係であり、ここでは対称律を用いた、と私は読み解きます。


しかしながら、本の中では明確にふたつの環が同型であることが同値関係であることの証明がなされていません。
そこで考えてみて、証明できたのですが、反射律と推移律を示すことは比較的簡単だったものの対称律だけは難しかった!

対称律を主に書いていきたいと思います。

続きを読む

tag: 数学 勉強 群環体 写像 同値 演算 証明 ブログ「サイバー少年」

商群と演算の両立性と、ときどき正規部分群

私が読んでいる群・環・体の本では、環の章を読んでいるのですが「環RをイデアルIで類別する同値関係は加法、減法、乗法に関してRの元と両立する」と書いていて、ここの減法に関しても両立するというところに注目していただきたいのですが、

加法、減法に関して両立するのはRを群と見なすと、この同値関係はRを正規部分群Iで類別する同値関係になるから、これが加法、減法に関して両立するのは群の章で証明したよね、という説明になっていました。


(なお念のため説明しておくと、同値関係が演算△に関して両立しているとは、aとbが同値、cとdが同値ならa△cとb△dが同値であることを表します。)


しかし、群の章を読み返してみると、加法に関して両立することしか書いておらず、「あれれ?減法はなんで両立してるんだ?」と思ったわけです。

そんでもって少し考えたのですが、「あ、環Rは群と違って加法に関して必ず可換だ」と、思いつきました。

a,b∈Rについてaとbが同値、記号で書けばa~bとはa + (-b) ∈ Iだったのですが、可換律よりa + (-b) = -b + a = -b + (-(-a) ∈ Iなので、-b~-a、対称律より-a~-b、つまりa~bならば-a~-bとなります。

ここで、x,y,a,b∈Rについてx~y,a~bだった場合、x~y,-a~-bとなりますので、加法に関しては両立していたのでx+(-a) ~ y+(-b)、ということで減法に関しても両立していることがわかりました。

要するに、これを環の話だけでなく群の話に還元すると、その群が可換群であれば部分群で類別する同値関係は減法に関しても両立する、ということになります。


しかし、実は可換群でなくても、加法に関して両立しているなら必然的に減法に関しても両立しているということが後の考察により判明しましたので、それに気づくまでの過程を記していきたいと思います。

続きを読む

tag: 数学 群環体 勉強 写像 演算 同値 可換律 証明 イデアル

ユークリッド整域の定義を見直す

またユークリッド整域の話かよ!!!!
もうすでにイデアルの勉強に移っているんですが、ちょっと前にユークリッド整域で判明した事実があったので、今回は軽くですが記しておきます。

記事「ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足」で、x = 0ならH(x) = 0およびH(x) = 0ならx = 0は定義せずとも定理として成り立つだろうかと疑問を書いていました。

結論からいうと定義しなければ定理としては成り立ちません。
ただ、そもそもユークリッド整域において、これが成り立つ必要はありません。

必要なのは「H(a)がすべてのxにおけるH(x)の最小値ならa = 0」です。
これがあればユークリッドの互除法が使える整域になるわけです。

なぜなら、ユークリッド関数のその他の定義により、元a,b(b != 0)について
a = b×q + rかつH(r) < H(b)となる元q,rが存在しますが、これを互除法で繰り返していくと、どんどんH(r)が小さくなっていって、最小値になったときにr = 0となって、もうbをrで割れないということになります。

H(r)が最小値になったときにr = 0でなければ、さらに割れることになってしまうので、それは困るからr = 0を要請しているということです。

しかし、「それは困る」という事態を詳しく見てみると、
もしH(r)が最小値なのにも関わらずr = 0でないとしたら、さらにbをrで割ることができて、新しい余りをr'とするとH(r') < H(r)でありH(r)が最小であることに反するから、r = 0であるしかありえなくて、実はこの定義すら必要なかったわけです。


また、「H(a)がすべてのxにおけるH(x)の最小値ならa = 0」が成り立つなら逆も成り立ちます。
その説明をするには写像の仕組みを論理的に説明できるスキルが必要ですが私には残念ながら能がないので、イメージになってしまいますが、
すべてのxにおいて最小となるH(a)は必ず存在するので、そのときa = 0なわけですから、aとH(a)が対応している、写像なのでaが他のところにも対応していることはない、つまりH(a)はすべてのxにおけるH(x)の最小値です。

そしてa = 0ですからH(0)はすべてのxにおけるH(x)の最小値です。

これがもし「H(a) = 0ならa = 0」とかだと、逆は一般に成り立ちません。
H(x) = 0となるxが存在しているとは限らないので、0とaの対応が保証できないからです。
すべてのxにおけるH(x)の最小値は必ず、なんらかのxと対応しているので保証できます。
論理的に説明するにはどうしたらいいんだろうか…。


ちなみに、

ユークリッド環 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0

を見てみると、整域に元a,b(b != 0)についてa = b×q + rかつG(r) < G(b)を満たす写像Gが導入できるならば、
さらにそれと加えてH(a×b) >= H(a)を満たす写像Hを導入できることがいえるそうです。

H(a×b) = H(a)ならbは単元というのはどこにいったのか分かりませんが、まあ多分、これも定義せずともいえるんでしょう。(適当)

つまり、元a,b(b != 0)についてa = b×q + rかつH(r) < H(b)を満たす写像Hが導入できる整域であれば“ユークリッド整域”と呼んでいいわけですね。


論理というのは不思議ですね。
一を聞いて十を知るという言葉がまさにふさわしい。
ひとつ公理として定めたらめちゃめちゃ色々な定理が湧き出てきます。

恐らく、これでユークリッド整域についての記事は最後になります。
冒頭でも述べたとおり、イデアルの勉強をやっているので、引き続き頑張ります。

tag: 勉強 数学 群環体 ユークリッド 公理 写像 関数

ユークリッド整域における元と高さの関係

先日に書いた記事「ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足」で


つまりH(x) = 0のところにx = 0が、H(x) = 1のところに単元のxが、H(x) = 2のところに単元と素元のxが、H(x) > 2のところに単元、素元、いくつかの素元の積がすべて分布してる感じですね。


と記述しました。

「単元と素元~」みたいな言い方をANDと解釈するなら間違いですが、まあORと解釈するなら間違った主張ではないんですけどね。

ただ、たとえばH(x) = 2のところに単元または素元のxが分布しているという主張ですが、これは正しくはH(x) = 2となるxについて、それは単元または素元である、という主張にするべきでした。

前回の言い方だとH(x) = 2となるxが必ず存在するかのような主張となっています。


そして、その他の点でも非常にナンセンスな表現であるということに気が付きました。
後述しますが、まず単元はそんな色んなところに分布してなくて、すべて同じ高さのところにあります。

あと、前述のようにORで解釈するなら間違いではないのですが、この主張を読んだときにイメージするのはH(x) = 2のところに素元となるxがあって、H(x) > 2以降において素元の積のxも含まれてくるという感じだと思います。

そのイメージは間違いですが、主張自体は間違いではないので、たしかに読み手が悪いと言えばそうですが、私の書き方にも問題があると思いました。


それは、1という数、2という数を定数として決定してしまっているところです。
実際は定数は決定せずに、色々な元に対する高さの大小関係だけをイメージしてもらえるような書き方にするほうが自然でした。

事の発端はYahoo!知恵袋で、整数に関数Hを導入したときに、H(x) = |x|ではなくH(x) = 2×|x|とすることも可能である、という指摘を受けたことでした。

このときH(x) = 2のところに単元があって、H(x) >= 4以降に素元などがあり、あとH(x)が奇数であることはありえません。

こんなように、定数はまったく変わってくるわけですが、大小関係は変わりません。
そこで今回は、元による高さの大小関係に着目して判明することを書いていきたいと思います。

続きを読む

tag: 数学 群環体 ユークリッド 考察 勉強 関係 素数 証明 写像 帰納法

ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足

私が群・環・体の勉強に使っている本を読んでいたら、以前の記事「[環論] ユークリッド整域で陥った詭弁」にも登場しているユークリッド整域において、

0(零元)でも単元でもない任意の元は素元の積に分解できて、それぞれの素元における単元倍の差を除いて一意である

ということが解説されていたのですが、一意性についてはいいとして、分解可能性の証明に足りない部分があると思ったので、自分なりに考えて補足してみます。

そんな、この本の著者様に意見できるほど優れた人間ではないのですが…(汗)


まず、本では元xの高さH(x)の値に注目して、H(x)がどんな値であってもxが0でも単元でもないなら素元分解可能であることから、任意のxについて0でも単元でもないなら素元分解可能であるということを述べようとしています。

ここがまずちょっと難しいですが、すべてのxは必ずなにかしらの自然数H(x)に対応しているわけですから、すべての自然数において対応するxが性質を満たすことがいえれば、すべてのxにおいて性質を満たすことがいえるわけですよ。

厳密に証明しろと言われると、能力がなくて私にはできないですが…。

逆に、すべてのxについて対応する自然数がある性質を満たすとき、すべての自然数がその性質を満たすという論法は一般には正しくありません。
ただし、xから自然数へ対応させる写像が全射であるなら、上の場合と同じ状況になるので、正しいと思います。

続きを読む

tag: 勉強 数学 群環体 ユークリッド 素数 証明 約数 帰納法 考察 写像

ペアノの公理と特殊な数学的帰納法

今回は、あんまり深く考えないで数学について記事にしようということで、以前の記事で数学的帰納法を使ったときに思ったことを書きます。

あんまり考えて書いていないので、特に新たな発見をしたわけではないのですが、ちょっとしたアイデアとして。


数学的帰納法は、なにも0や1(自然数の最初の数)から始まって1つ後ろの数、その1つ後ろの数というふうにドミノ倒しされるとは限らず、

0や1でない自然数から始まって、1つ後ろでないところの数へとドミノ倒しされることがあります。

数学的帰納法の応用ですね。
我らがWikipediaにも書いてあります。

数学的帰納法 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95


そんでもって、数学的帰納法は形式論理で扱うときにどのようになるかというと、自然数に関する公理のひとつとなります。

ペアノの公理というやつで、それの一番最後の公理が数学的帰納法を正当化するための公理となります。

ペアノの公理 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86


余談ですが、こういうふうに自然数はどんな性質なんだろうと突き詰めて公理を発見するのではなく、自然数とはこういうものなんだという性質を、神ではない我々が定義することができるというのは、なんか数学の面白さのひとつですよね~。

まあ、私が定義できるほど実力はないのですが…。
ただ、こういう公理主義的な考えの上での数学は、自分で作れるという意味でプログラミングと似ていると思います。

続きを読む

tag: 数学 論理学 論理式 自然数 考察 命題 形式 帰納法

[環論] ユークリッド整域で陥った詭弁

今回も環について知っていないと分からない話をします。

群・環・体の勉強で、特別な環であるユークリッド整域について学び始めました。
とりあえず定義だけ読んだのですが、以下のような定義となります。

なお、本に書いてありましたが、普通の定義より強くしているそうです。

任意の整域(A,+,×)に対してa∈Aを非負整数に対応付ける関数H(x)で次のような条件を満たすものが存在する整域をユークリッド整域と呼びます。

1. H(0) = 0かつH(a) = 0ならa = 0 (0は加法の単位元)
2. a ≠ 0かつb ≠ 0なら、H(a×b) >= H(a)かつH(a×b) = H(a)となるのはbが単元のときのみ

3番目の重要そうな条件もあるのですが、ここでは使わないので省略します。
このH(x)をxの高さと呼びます。

そして、a∈Aとb∈Aの公約元xの中で高さが最大になるものを最大公約元と呼びます。
公約元は普通の環でも存在する概念ですが、最大公約元はユークリッド整域でないと存在しない概念ですね。

そして、aとbの最大公約元が単元であるときaとbは互いに素であるといいます。
つまり互いに素であるというのもユークリッド整域でいえる概念なのですが、私はそれに違和感を覚えたわけです。

続きを読む

tag: 数学 勉強 群環体 素数 証明 約数 論理 ユークリッド

次のページ

当ブログをご利用(閲覧等)になる場合は必ず「当ブログの利用規定」をお守りください。