ブログ「サイバー少年」

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小学六年生ごろからプログラミングを趣味にしている高校生のブログです。
勉強したことについての記事などを書いています。フリーソフトも制作、公開しています。
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11月

その他で覚えた技術
・有理式による体の拡大について学んだ。
・有理数体を固定体とする自己同型写像の一例を確認した。
・多項式環がなす商環による体の拡大について学んだ。
・有限体の諸概念と、多項式環がなす商環による有限体の構成について学んだ。
・巡回置換の定義を知った。

コメント
月の前半はサクサク進んだのですが、後半、任意の有限体が多項式環がなす商環による有限体と同型であるということの証明が理解できなくて、だいぶ時間をかけていて今に至ります。ただ、最近ようやく方針が見えてきたので、これからサクサク進むと思います。群・環・体の本を読み切るのはあと少しなのですが、今年中に間に合いますかね~。

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イデアルと商環とユークリッド整域の商環

群・環・体の本を読んでいるのですが、有限体の解説を読むのに苦戦しておりまして、最近ようやく方針が見えてきたところであります。

ですから、もう少ししたら理解できるはずですので、それは当ブログでも記事にまとめたいと思っているのですが、
あまりにも最近は数学のネタを書いていないので、つなぎとして商環の話を。

今回は自分で考えたこととかじゃなくて、完全なる本の受け売りなのですが、今後、有限体についてまとめるときに使う知識ですので、閲覧者の皆様にもあらかじめ知っておいていただければ話が早いと思います。


まず、ある条件を満たす環の空集合でない部分集合をイデアルと呼びます。
条件というのは、環RとイデアルI⊆Rについて

1. a∈I かつ b∈I ならば a+b∈I
2. a∈Iな らば -a∈I
3. a∈I かつ b∈R ならば ab∈I

の3つです。
3.はIについて閉じていると言っているわけではなく、bはRの要素であればabはIの要素であるという、さらに強い条件を主張していることに注意してください。

3.によると0∈Rなので、a∈Iとなるaは必ず存在しますから、a0 = 0 ∈ Iです。
ですから、Rを群と見なすとすればIは加法について閉じており、逆元が存在し、単位元0が存在していますので、IはRの部分群となります。

さらに、ここで扱っている環は加法について交換法則が成り立つ可換環を想定しているのですが、そのためIがRの正規部分群であることは明らかです。


さて、任意のa∈Rの倍元全体の集合{ab | b∈R}を(a)と表記するのですが、これがRのイデアルであることは、条件と照らし合わせてみると分かると思います。
このようなイデアルをaによる単項イデアルと呼びます。

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tag: 数学 勉強 同値 イデアル 群環体 ユークリッド 関係 集合 素数 証明

多項式の商環による体の拡大

前回記事「イデアルと商環とユークリッド整域の商環」で紹介した知識をベースに、予告していたとおり続編にあたるものを今回は書きます。

有限体については完璧に読み解くことが出来ました!
というわけで、それはまた今度まとめたいと思います。
まずは今回の話をしないと、有限体も理解しづらいですからね。


多項式の変数Xに係数環(係数体)の要素を代入すると、多項式として全体の計算結果を得ることが出来ます。
ここで、係数環(係数体)に含まれない要素を代入できないかと考えてみます。
(以後、係数は体に限定して話を進めます。)

そのためには、その要素γと係数体Kの要素の間で加算と乗算が可能でなければなりませんので、要するにKを部分集合にしており尚且つγを含む大きな環が必要です。

別に複素数体を想定しているわけではないですが、その環をCと名付けることにします。
K⊆C、γ∈Cですが、ここでCの加法、乗法はKの中ではKの加法、乗法と一致していなければなりません。

となると単位元は一致しますし、KはCの部分体とでも言えるんですかね。
そこまで本に書いていないので、よく分かりませんが。
あくまでCはKを拡大したものです。
この条件は満たしてないと論理的に矛盾するわけではないのですが、今から行う体の拡大の趣旨に反します。

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tag: 数学 群環体 証明 集合 素数 勉強 ユークリッド 同値 写像 複素数

2017年が終わる

いや~、昨年末の記事「気がつけば年の暮れ 2016」も真夜中に書きましたが、今年も真夜中というか曙というか…。
毎年、大晦日は夕方に起きて、オールナイトして元日の朝を満喫して寝るんですよね。
それに今から合わせています。

2017年、今年も終わりますね。
昨年末の上記リンクの記事でも言っていたことですが、同じく今年も早かった!

ところで、時間の流れが早いというのは、どういうことなのでしょうか。
いや、なにか時間以外の次元があって、それの進捗状況と時間との対応が普通より早いときに早いと表現するのは分かるのですが、

その理屈でいけば時間が早いというのは時間と時間を対応させているわけで、その対応は早いも遅いもなくて常に変わらないですからね。

一年の“満足度”という次元と時間を対応させて早いと言っているんですかね。
ただ、“満足度”の定義が曖昧で、なにをもって“満足度”を測るのか分かりませんが…。
考えると、「今年も早かった」というのは解釈が難しいセリフです。


なんて話は置いといて、今年の始めの記事「2017年 新年のご感想」で、「今年の抱負」なんてものは設定するのはやめたけど、目標程度は書きました。


というわけで、まとめればコンピュータ系との関わりを持つというのが、今年の目標ですね。

考えてみれば、サイバー少年という名前まで付けて、プログラミングについて書くブログだと銘打っているのに、数学ばっかりに傾倒してるのも、なにかおかしいですからね。



と、書いたのですが、なにかおかしい状態がさらに激化した一年でございました。

今年の三月まではF#の勉強をやっていたんですけどね。
それ以降は数学(とりわけ群・環・体)しかやってねえ!

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tag: 数学 群環体 目標 新年 勉強 FE 情報 プログラミング サルでもわかる小遣い帳

12月

その他で覚えた技術
・方程式の解と係数の関係について知った。
・任意の有限体が、多項式環がなす商環による有限体と同型であることを学んだ。
・位数の等しい任意の有限体どうしは同型であることを学んだ。

コメント
群・環・体の本で解決していない疑問がひとつ残っていますが、本の内容はすべて理解して読み終えました。しかし実は、おまけの章として代数方程式論の序説があったのですが、説明がアバウトすぎて知識として成果になったのは方程式の解と係数の関係だけでした。おまけの章は本の内容から省いて勘定しています。今回は本を読み進めるというより、書いてあることを理解するために長時間、自分で考えていたのが目立つのと、全体的にペースは遅かったですね。

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