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円形とそれを囲む正方形の関係

今日は純粋な数学ネタです。
私が考えだした定理(?)をご紹介します。

まずはこちらをご覧ください。


円形と隣接して囲む正方形
円形と隣接して囲む正方形


見たとおり、この画像には大きく円があります。
そして、その円に隣接して、正方形が周りを囲んでいます。

さて、円の面積を求める公式は

半径×半径×π

ですが、この「半径×半径」が今日のポイントなのです。

半径×半径と言うと、私はこの場所をイメージしていました。

一般的な半径×半径の認識
一般的な半径×半径の認識

ちょっと線がずれていますね…。それは別として。
ほとんどの人が、この平行な半径×半径をイメージすると思います。

しかし、しっかり"半径×半径"になっているのであれば、平行にする必要はありません。
直角の半径×半径でもいいのです。
それの例がこちらです。

半径×半径の関係を直角にした図
半径×半径の関係を直角にした図

どの方向に線を引いても、半径は同じなので、
直角に交差させても、やっている事は変わりません。

そして、この半径×半径は正方形になっています。
赤い斜線を引いている部分です。

見ただけでも分かりますが、
この正方形のサイズは、円を囲む正方形の4分の1のサイズです。


ですから、この小さな正方形(面積は半径×半径)の面積を4倍すれば、円を囲む正方形の面積を導け出せます。

4分の1の正方形が4つなのですから当然です。

この事から、以下のような法則が適用できます。

・半径×半径×π = 円の面積
・半径×半径×4 = 円を囲む正方形の面積

1つ目の、
「半径×半径×π = 円の面積」は単に公式を述べているだけなので説明は不要でしょう。

2つ目は、今日説明した事を数式化したものです。

つまり言いたいのは、
半径×半径×4 = 円を囲む正方形の面積
になると言うことでした。


 
πは約3.14なので、4と大差はありませんね。
では、4はπの何倍でしょうか。

aがbの何倍かを調べたい場合は、割り算を使用します。
しかし、割り算は分数で代用できるので、分数で表記します。

ずばり、4はπの π分の4倍です。
π分の4は、約1.27です。

4÷π×π = 4とも言えますが、割り算の確かめ算でやった事ですね。

さて、π分の4×π = 4を頭に入れて、先ほどの法則を見直してみます。

半径×半径…の部分で、
円の面積を出したい場合は×π、
正方形の面積を出したい場合は×4

半径×半径は同じですから、
円はπで正方形は4と言う関係です。

円の面積にπ分の4を掛けたら、どうなるでしょうか。
π×π分の4 = 4と先ほどから言っていますので、
円の面積にπ分の4を掛けたら、円を囲む正方形の面積が出るはずです。

では試しに、円の半径を3cmとして計算してみましょう。

3×3 = 9cm2が4分の1の部分ですので、
9×4の36cm2が円を囲む正方形の面積です。

そして、円の面積は公式により
3×3×πとなります。
答えは9πですが、分かりやすく書くと、約28.27でした。
つまり、円の面積は約28.27cm2です。

さて、では早速、
円の面積×π分の4は円を囲む正方形の面積
なのか確かめてみましょう。

先ほども言いましたが、π分の4は約1.27です。

気になる人は実際に電卓を使用してみてください。

9×π×(4÷π) = 36

期待していた結果が表示されました!
円を囲む四角形の面積である、36を表示しています。

MS電卓ではこうなりましたが、使用する電卓が違ったり、式のやり方が違ったりすると、36にならない事があります。

しかし、その結果は35.9…などですから、ほぼ36と同じです。
電卓だと誤差が発生するのです。


ちなみに、このπ分の4の関係は、面積だけでなく周りの長さでも成立します。

円と正方形の関係はπ分の4なのです。


おまけ

今まで散々、半径×半径×4で周りを囲む正方形の面積が出せる!と説明しましたが、
単に周りを囲む正方形の面積を出したいなら、
直径×直径でOKです。

直径は正方形の辺と同じ長さですから。

今みたいに、直径×直径で出した方が断然早いです。
今日、説明した事は実用的なものではないです。

これは、こうなるから、こうすると面積を出せる。
の「こうなるから」の部分を説明するために書いたのです。

また、π分の4についても書いたので、結構よかったでしょう。

これを知って、便利って訳じゃないですが、
私が考えた定理(?)を紹介するためにこの場を借りました。

これを知って、便利って訳じゃないですが…。

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コメント

「こうなるから」の説明になっているかは疑問ですが
着眼点はとても面白いと思います。

  • 2012/11/17(土) 18:09:03 |
  • URL |
  • wisdom103 #-
  • [ 編集 ]

Re: wisdom103

ありがとうございます。

「こうなるから」の件は表現が下手糞だったって事で(笑)。

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