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因数分解の公式と二次連立方程式

久しぶりに数学ネタです。

現在、私の学校の数学の授業では2次式の因数分解をやっていますが、

公式の1つに
z2 + zb + c = (a + x)(a + y)
というのがあります。

この公式を使うとき、 x + y = bxy = c でなければなりません。

この2つの式を満たすxとyは、授業ではなんとなく求められるように設計されています。

しかし、なんとなくでは無理な場合は、厳密にはxとyは連立方程式で求められるんじゃないかと思いました。




x + y = b
xy = c


という方程式ですが、解いてみましょう。



x = b - y

代入して
y(b - y) = c
-y2 + by = c


ここでなんと二次方程式になってしまいました。

二次方程式は因数分解より後にやるので、因数分解のときに連立方程式で解けることを教えられないのでしょう。


多分、「2元2次連立方程式」というんだと思いますが、

昔も記事「短形の面積と、縦横の比率から、縦横の長さを求める」で2元2次連立方程式を解いたことがありますね。

このときに出てきた二次方程式は ax2 = b という形だったので適当に根号で囲めば解けたんですが、
今回は ax2 + bx = c という本格的な形になってしまいました。


解き方習ってねえ…。
しかし、頑張って解きます。
頑張るといっても解の公式に当てはめるだけです。


-y2 + by = c
-1y2 + by + (-c) = 0

y = ( -b ± √( b2 - 4(-1)(-c) ) ) / 2(-1)



yについて解くことができました。


二次方程式なのでyは2つ発生しますが、試しに問題をいくらか解いてみたところ、なななんと

どちらのyも上記の連立方程式の解となり得る、そしてその連立方程式の解として用いなかったほうのyがxである

という法則がどの問題においても成り立っていました。
全ての問題において成り立つ法則なのか分かりませんが…。

x + yxyも交換法則が成り立ちますが、それと関係しているんですかね。


というわけで、考えるのが面倒なので、この法則は全ての問題において成り立つものとします。

(成り立たないものとした場合も、yをそれぞれ連立方程式に代入すればxは求まります。)

よって、上記の連立方程式の解の公式は
y = ( -b + √( b2 + 4(-c) ) ) / -2
x = ( -b - √( b2 + 4(-c) ) ) / -2

となります。(xとyを逆にしたものも解となります。)




それでは、
a2 - 8a - 20 を連立方程式を使って (a + x)(a + y) に因数分解してみましょう。

この問題は連立方程式を使わなくてもxとyを求めることは容易ですが、
本記事のテーマが連立方程式を使うことなので、連立方程式で解きます。

x + y = -8
xy = -20

先ほど作った解の公式に当てはめる

x = ( -(-8) - √( (-8)2 + 4(-(-20)) ) ) / -2
y = ( -(-8) + √( (-8)2 + 4(-(-20)) ) ) / -2

解は

x = 2, y = -10
または
x = -10, y = 2

となります。

(a + 2)(a - 10) も、 (a - 10)(a + 2) も、展開すると a2 - 8a - 20 になっているため、
この連立方程式で正しく因数分解できたことになります。



というわけで、テストの問題に出るようなものは“なんとなく”でxとyを求めたほうが圧倒的に速いですが、

中には連立方程式で解いたほうがいい問題もあるかもしれませんので、よく覚えておきましょう(???)

tag: 二次方程式 二次連立方程式 因数分解

コメント

Re: 青花

そうなんですよね。
“なんとなく”とは言っても、ある程度の絞り込みはやっているんですよね。

色んなやり方がありますが、どのような求め方においても、結局は

x + y = a
xy = b

という連立方程式の解を求めているということなんだと思います。

これは私が記事に書いたとおり普通に解いていってもいいですし、xとyを総当り的に代入していって両方の等式が成り立つx,yの組を求めてもいいですし、
青花さんのおっしゃるようなやり方でもいいんです。

どのようなやり方でも、結局やっていることは上記の連立方程式の解を求めているということなんだと思います。


様々な求め方にはそれぞれ特徴があって、もちろん青花さんのやり方が一般的に早く求められます。
私が今回、記事に書いたやり方はどうなのかというと、機械的に求められる(解の公式も作りましたし)ということが強みだと思います。

問題を見て、最適な求め方を判断する、この技能が重要ですね。
ほとんどの問題において、私が今回書いたやり方では、かえって遅くなってしまうでしょうけど…。


> 数学ってせこいことしようとするとすぐ0=0になっちゃうのよね

0 = 0はおかしくないと思いますが…。
しかし、注意しないと1 = 2になったりすることはありますよね~。
パラドックスってやつですね。

平方完成に触れないのは残念に思いました

a^2 - 8a - 20 だったら平方完成すると
(a-4)^2 - 36 と変形できるので
A^2-B^2 = (A+B)(A-B) の形で因数分解できるわけです

現在中学で平方完成という言葉が出てくるかは知らないですが
高校数学で二次関数を扱う際の必須の技法であり
そもそも解の公式を導く時にも使っているはずの手法です
つまり解の公式で解けるものは原理的に平方完成で解けます

(念のため)平方完成というのはこういうものです:
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/2jikansuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kansuu/2jikansuu/heihoukansei_no_gutairei.html

  • 2014/06/09(月) 21:25:27 |
  • URL |
  • あれれ #-
  • [ 編集 ]

Re: あれれ

二次関数、二次関数と連呼しているものの、実はまだ解法を勉強していませんでして…(笑)
もうすぐ学校の授業にも出てきますので、まぁそのときを待っている状態です。

とりあえず解の公式に代入すれば解を求められるので、入れたのです。
基礎を通りこしてその先を始めてしまうんですよね。

私も初めて平方完成を学ぼうとした時にはその本質がなかなか理解できなかったのですが、遅くとも高校数学を学んでいるうちには、気がつけば【2次式の因数分解, 平方完成, 解の公式は「本質的に同じ」ものだ】と思える日が来ると思いますので楽しみにすると良いと思います。

  • 2014/06/09(月) 21:51:53 |
  • URL |
  • あれれ #-
  • [ 編集 ]

Re: あれれ

はい、楽しみにしています。
最近はウェブ上にも学習テキストが多数ありますので、もしかしたら授業を先取りして学ぶかもしれません。

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