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直角三角形の合同条件について考えてみた

今回は直角三角形の決定条件について考えてみました。

直角三角形の合同条件は、中学二年生で習いますね。
さて、2つの直角三角形は以下のいずれかであれば合同です。

1. 1組の辺と1組の鋭角が等しい
2. 斜辺ともう1組の辺が等しい


1.の理由は簡単で、直角三角形はすでに1つの角が90度と定まっていますし、そこにもう1つの角が決まれば、最後の角も決まります。

要するに、1つの鋭角を与えられた時点で全ての角が決まるわけで、
そこに1辺の長さが与えられれば、「1つの辺とその両端の角が決まっている」という普通の三角形の決定条件から直角三角形を決定することができます。

これらのパーツだけで決定できるということは、等しいパーツを持つもう1つの直角三角形も同じように決定されます。

よって2つの直角三角形は合同であるとわかります。


しかし、問題になるのは2.です。
これは2つの辺の長さと、1つの角(90度)がわかっている状態です。

しかし、三角形の決定条件には「2つの辺と1つの角が決まっている」なんてものはなく、「2つの辺とその間の角が決まっている」しかありません。

直角三角形の直角は斜辺じゃない2辺の間にあります。
よって、2つの辺とその間ではない角が決まっているだけで、普通に考えたら決定できないのです。


ではなぜ、この条件で決定できるのでしょうか。
それについて考えてみたのでまとめます。






ではまず、そもそもなぜ普通の三角形において「2つの辺とその間ではない角が1つ決まっている」という決定条件がないのでしょうか。

図を書いてみます。

すでに決まっている2つの辺をA, B、
AとBの間ではない1つの角をbとします。

bはBに付いていない、つまりAとまだ決まっていない辺であるCの間にある角とします。

これで2つの辺とその間ではない角が1つ決まったことになります。

具体例イメージ
具体例イメージ


例としてはこんな感じになります。

辺Cは長さが未定ですが、辺Aと角bが決まっているため、線分でなくとも線は確定されます。


さて、ここから三角形を決定するには角cを変化させて、辺Bの先端を辺C上までもってくればいいのではないかと考えます。

角cをベストなところまで狭めていって…こうなります。

辺Bの長さがちょっと変わってしまったかもしれませんが、変わってないことにしてください。

これで三角形が決定された?
これで三角形が決定された?


角cを狭めたことによって辺Cも決定されました。

「なんだ、なら2つの辺とその間ではない角が1つ決まっている」も決定条件になるじゃないか、と思ってしまうでしょう。

しかし、大きな穴があります。
この条件ではこのような場合も有り得てしまうのです。

これも有り得る
これも有り得る


先ほどの角cを更に狭めていくと、いったん辺Bが辺Cを突き破って、さらに狭めていくとまた辺C上にのっかります。

その状態がこれです。

つまり、この条件では2つの三角形が有り得るため、決定できないのです。


また、三角形が1つも作れない場合もあります。

辺Bが足りない
辺Bが足りない


このように、辺Aが長かったり角bが広かったりするのに対し、辺Bが短すぎると、
どう頑張っても辺Bは辺Cと接続できないので、三角形は1つもできません。


つまり、「2つの辺とその間ではない角が1つ決まっている」という条件では、有り得る三角形が2つになったり0つになったりして、三角形が決定できないわけです。





しかし、現に直角三角形では「2つの辺とその間ではない角が1つ決まっている」という決定条件があります。

つまり、なんらかの条件を満たした三角形においては、この決定条件も有効になるということです。


そのなんらかの条件というものを考えてみました。

それは、「与えられた辺Bが辺Aよりも長い」場合です。


まず、2つの三角形が有り得ると言っていた件も、辺Bが辺Aより長いなら問題ありません。

三角形は1つに決まる
三角形は1つに決まる


角cを狭めていくと、とりあえず辺Cと辺Bが接合されて1つの三角形が決まります。

しかし、さらに角cを狭めていくともう1つ三角形が出来てしまうという話でしたが、
辺Bが辺Aより長い場合、もう1つ出来る三角形では上図のように辺Aを通り越してしまいます。

後者の三角形では角bが与えられた角bと異なってしまうため(角bは360度になっています)、これは無視していいのです。

つまり、有り得るのは前者の三角形だけだということです。
よって、この条件でも三角形が決定されるということがわかります。


ちなみに、こっちの話だけだと 辺B ≧ 辺A 、つまり辺Bと辺Aが等しい場合でも、有り得る三角形は1つだけで、三角形を決定できるのですが、

後述するほうの話では、 辺B = 辺A だと三角形を決定できないため、冒頭では 辺B > 辺A と書きました。

さてではその話です。


辺Bが辺Aよりも短い場合は前述したとおり、辺Bが辺Cにとどかず、三角形を作ることが出来ない場合がありました。


しかし、辺Bが辺Aよりも長い場合は、必ず辺Bは辺Cにとどきます。

理由を下図を使って説明します。

角bがどれほど開いていようとOK
角bがどれほど開いていようとOK


辺Aも辺Bも、点Pから伸びていって辺Cと接合していると考えることができます。

このとき、辺Bよりも短い辺Aが事実として辺Cにとどいているのですから、それよりも長い辺Bが辺Cにとどかないはずがないのです。


最低でも辺Bと辺Aが同じ長さなら、辺Bは辺Cにとどきますが、
その場合は辺Aと辺Bが完全に重なってしまい三角形ではなくなるので、三角形は決定できません。

辺Bが辺Aより長ければ、辺Aと重ならずに辺Cと接合できます。





さて、辺A, 辺B, 角bが決まっている状況において、辺B > 辺Aなら、三角形が決定できるということがわかりました。


それで、結論を言ってしまうと、直角三角形の場合は(角b = 90度)、必ず 辺B > 辺A になるのです。

三平方の定理により、 辺B = √(辺A^2 + 辺C^2) となります。
このとき、辺C = 0 なら 辺B = 辺A で、辺C > 0 なら 辺B > 辺A です。


合同条件として見る場合、既存の直角三角形を対象としていますので、辺C = 0 は有り得ませんし、必ず 辺B > 辺A となります。

よって辺Aと辺Bの情報だけでも直角三角形を決定できます。


よって2つの直角三角形の、辺AとBに相当するパーツがそれぞれ等しければ、その時点で2つの直角三角形は合同であると判断できるわけです。


これは合同条件として見た場合について述べており、

角bを直角とする直角三角形において、辺Aと辺Bが決まれば直角三角形が決定されるという意味にはなりません。

辺B > 辺Aでないと決定されませんよ。


というわけで、このなんでもなさそうな直角三角形の合同条件ですが、理屈は単純ではなかったのでした。

tag: 数学 三角形 合同

コメント

三平方の定理より斜辺ともう一つの辺が決まると、自明にもう一つの辺も決まるからでは...

  • 2014/07/10(木) 13:55:07 |
  • URL |
  • 表記なし #-
  • [ 編集 ]

Re: 表記なし

あ…。確かにそうですね…。

まぁ、この記事のように“ 辺B > 辺A の2辺と、角bが決まれば三角形は決定される”ということから導くこともできると言うことで。

うん。

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