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円柱を傾けて転がすことについて考察

文化の日スペシャルということで数学ネタいきます。

この前ふと思ったのですが、円柱状のもの(ペットボトルのフタでもガムテープでもドラム缶でもなんでも)を、まず机に立てているとするじゃないですか。

そして、この円柱を少しだけ直立状態から横に傾けますよね。
次にその傾きを保ったまま円柱の底の円の円周にそって転がします。

するとこの円周が机の面と触れた場所というのは、円を描くということに気づきました。

いや、文章じゃよくわからないかもしれませんが、すごく当たり前なことを書きました。

みなさんも絶対にそういう経験をしていると思います。


ためしに、トイレットペーパーの芯でも使って実験してみてください。
芯を立てたあと、少し傾けます。

円周にそって転がすというのが手作業ではなかなか難しいかもしれませんが、これを上手くできれば、円周は円を描いて地面に接するはずです。


それでまあ、またまた当たり前なことを書きますが、円柱を傾けたわけですが、この傾き度合いによって、円周が描く円のサイズが変わります。

もうちょっと詳しく書くと、円柱を傾けるほどに描く円のサイズは大きくなります。

これも実際にやってみてみれば、こんな簡単なことを言っているだけかというのがわかります。


そこで、今回は、なぜ円柱の底の円の円周が円を描くのか、

そして円柱を傾ける度合いと描く円のサイズはどのような関係があるのかを考えてみたので、記事にします。





まず、これから円柱の話をするのかと思わせてしまってアレでしたが、これはこの世界が三次元空間なので仕方なく円柱になっているだけであって、

本来は円柱の底の円と、床に相当する面だけを考えればよいことになります。

もちろん空間は三次元ですが、登場する図形は平面でいいということです。


ここまでの話を図にします。
しかし三次元空間を図にするのは困難ですね。

絵の作図方法を知っている人なら上手いこといくのかもしれませんが、私は適当にペイントでやったので、変な図になっています。


傾けた円を真横から見た図
傾けた円を真横から見た図


これは、もともと円が下の面にべったりとくっついていたのを、斜め45度くらいに傾けて転がしていることを表したい図です。

このようにすると、地面(下の直線)と円が接する部分は、この図ではZ軸方向になるので表現できませんが、そのような円を描くということです。

コインをばらまいたときに、コインが少し傾いて転がるということがありますよね。

そのときコインはしばらくの間カーブしながら転がります。
そういう現象でもあります。


ちなみに、円を90度まで傾けてしまうと、下図のようになりますね。

横向きの円を見た図
横向きの円を見た図


円を90度傾けるというのは、ようするに円を立てた感じです。

現実世界ではタイヤを転がす感じでしょうか。
この円はカーブすることなく直進します。


また、逆に円を傾けない、つまり地面にべったりとくっついている状態では、円を転がすという概念自体なくなってしまっていますけども、
円周と地面の接するものを考えれば、円周と同サイズの円が描けるということになりますよね。

つまり、円を0度傾けると円と同サイズの円が描けて、円を90度傾けると直線が描けますが、直線を描くというのは、無限大のサイズの円を描くことと言っていいと思います。


無限大のサイズの円が直線を描くという話を、ちょっと前も記事「円の軌道に関する考察」でやったと思います。

今回、この理論について考察しているときに、あの記事と類似している点が多いなと感じました。


さて、なぜこうなるのかについて考えてみたのですが、
今まで書いてきたように円が地面にべったりとくっついているのが最初の状態で、そこから円を持ち上げるように傾ける、という順番で考えると、どうもよくわかりませんでした。

しかし、逆に先ほどの図のように、最初は円が立っている、直線を描くような状態になっていて、そこから横に倒すという順番で考えるとうまくいったので、ここからはそういう順番で考えます。




ではまずは先ほどの図のように、円が立っていて、転がして直線を描くメカニズムについて考えます。

ここで、この理論の核心部分なのですが、円周を大量の直線に分解します。


大量の直線とはどういうことかというと、ある傾きの直線を極限まで短い長さだけおいて、その終端からまた同じだけ傾いた直線を極限まで短い長さだけおいて、その終端から…というのを無限に繰り返せば、最後の直線はスタート地点に戻ってきて、全部を見たら円だったということです。

これも記事「円の軌道に関する考察」で話していましたね。


だから円って直線の集合でもいいよねという考え方をします。

そのことを顕著に表すために、多角形の図を載せますが、これを円だと思ってください。

直線の集合として見た円
直線の集合として見た円


それで結局、円を直線の集合として見たなら、円を転がすという行為は、それぞれの直線をガタンガタンと地面にくっつけていく作業ですよね。

その地面にくっつけていく作業の繰り返しのひとつひとつを見てみると、
片方の端だけ地面にくっついていてもう片方が浮いているような直線があって、それをシーソーみたいに動かして、
地面にくっついていたほうを浮かせて、浮いていたほうを地面にくっつけた、というだけです。

それを何回もやるから転がすという行為になるということです。


そして、話を戻せば、円を横に傾けたときどうなるかも考えたかったわけですが、それは結局、この直線をそれぞれ横に傾けたということですね。

直線を横に傾けるとどうなるでしょうか。


みなさん腕を直線に見立てて、肘を机において手を浮かせてください。

そして、蛇拳みたいなというか、ちょっと違うかもしれませんが、腕全体を横に回転させます。

そのとき、手の場所が動きますが、その移動の中には右または左への移動が含まれていますよね。


それと同じことが例の直線の集合でも起きていると考えます。

上下に傾いていた直線を、片方の端を軸に横に回転させると、もう片方の端の横方向の座標が動くわけです。

それで直線がひとつだけでなく、たくさん連なっているわけですが、たとえば地面にくっついていた直線を傾けたとして、二番目の直線は、一番目の直線が横方向に動いたうえに、それプラスで二番目は二番目で横方向に動きます。

三番目以降も同様に、さらに横方向に動きます。

なお、横方向にどれだけ動くのか、それぞれの変化量を見てみると、直線は長さも傾きも同じだったんですから、変化量もそれぞれ同じになります。


相変わらず文章じゃ意味不明ですが、実際に手元に多角形があれば当たり前なことを言っています。

手元に多角形がある人はなかなかいないと思いますが…。
図にするのは難しいので、ご理解ください。


このように傾いた直線の集合を、先ほどの傾いていなかった場合と同様にガタンガタンと転がしていきます。

一回目のガタンでまず、地面と接する線は左右に曲がっています。

二回目のガタンでは、そこからさらに左右に曲がります。
三回目以降も同様です。

そして、その変化量、つまりどれだけ曲がるかの具合は何回目でも同じになるわけですから、

地面と接する線を全部見てみたら、直線があって、向きが若干曲がって、また直線があって、また若干曲がって…を繰り返すことになりますね。

そして、その曲がり具合はどこでも同じです。
そのような線の集合は、多角形になりますよね。


これも視覚化すれば当たり前です。
直線があって、曲がって、直線があって、を繰り返せば多角形なのです。


そして、この直線の集合というのが、実際は極限まで短い直線が無限にある集合になるということでしたから、

そのような直線の集合を傾けて転がすと、地面と接する線というのは、微妙に伸びて、微妙に曲がって、微妙に伸びて…を無限に繰り返す多角形になります。

記事「円の軌道に関する考察」でも書きましたが、そのような多角形は円です。


よって、円を傾けて転がしたら、地面と接する線というのは円を描くことになります。

という具合です。




では、その描く円のサイズはどうなるのでしょうか。

片方が上に傾いた直線を横方向に回転させる話に戻りましょう。

このとき直線の長さをr、横方向に回転させる角度をθとします。

また、直線が上に傾いていたわけですが、この傾きをaとします。


このとき、直線のもう片方の端が横方向にどれだけ動くかというと、ar×sin θだけ動きます。

ちょっとよく考えないとよくわかりませんでした。

直線の浮いているほうの端から断面図を作って考えればわかります。


そのような直線を地面にガタンと転がすと、横方向にar×sin θ動かすような長さrの直線が描けます。

三角関数が面倒ですが、極形式的に表現すると、ようするに長さがrで、横方向にar×sin θ移動する直線に相当するような適当な向きを持った直線だということです。

その向きをとりあえずαとします。

そして、一回ガタンと転がしたあと、またそこを基準に長さrで向きがαの直線を描いて…を繰り返します。

よって、描く図形は、r進んでα回転することを繰り返した図形となります。


そして、実際はこのrが極限まで小さかったわけです。

そのような図形は、やっぱり円ですね。

記事「円の軌道に関する考察」でも書きましたが、あの記事では、向きの回転がどうなるのかという扱いについて決着が付いていなかったような気がします。

今述べた理論の整合性を満たすには、回転する向き(ここではα)はゼロに収束しない任意の角度となりますが、どうなのでしょうか。

正直なところ、今述べている理論が見当違いな可能性は十分にあるので、なかなか分かりかねます。


まあ、αが決まれば、最終的な描ける円のサイズも決定できることになります。

元はといえばαは適当においた数だったので、θ, r, aが決まれば決まります。

具体的なサイズの計算については、私はできませんが、取るべき方法を取れば算出できると思います。


まあ、元はといえば、横方向にar×sin θ移動させるという話だったので、θが大きくなるほど、描く円は小さくなります。

θが90度になった時点で、描く円は元の円と同じサイズになるというのは、最初から言っているとおりですね。


また、このaという数、上に傾いている直線のその傾きだとしましたが、実際は円から始まって、直線に考えなおすことになるので簡単にaは出ません。

しかし、円の接線の傾きを出せばいいことになります。
その傾きがaです。

円のどの場所においても、接線の傾きはaで同じになりますね。


しかし、円の接線の傾きを出すなんてチョロいぜみたいな言い方しましたが、私にはできません。

しかし、そのような方法はあるようです。

というわけで、取るべき方法を取れば、巡り巡って、円を傾けた度合いから地面に描く円のサイズを算出できるようになります。


三次元空間的にいうと、今あなたが持っている円柱をどれだけ傾けると、どれだけのサイズの円を描くことになるのかわかるということです。

…この理論が正しいことを願いたいなと、思います。


なにか詭弁に気づいたよという心優しい暇人がいましたら、コメントお待ちしております。

tag: 数学 図形 三角関数 角度 極限 無限 回転

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