ブログ「サイバー少年」

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小学六年生ごろからプログラミングを趣味にしている高校生のブログです。
勉強したことについての記事などを書いています。フリーソフトも制作、公開しています。
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ユークリッド整域の定義を見直す

またユークリッド整域の話かよ!!!!
もうすでにイデアルの勉強に移っているんですが、ちょっと前にユークリッド整域で判明した事実があったので、今回は軽くですが記しておきます。

記事「ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足」で、x = 0ならH(x) = 0およびH(x) = 0ならx = 0は定義せずとも定理として成り立つだろうかと疑問を書いていました。

結論からいうと定義しなければ定理としては成り立ちません。
ただ、そもそもユークリッド整域において、これが成り立つ必要はありません。

必要なのは「H(a)がすべてのxにおけるH(x)の最小値ならa = 0」です。
これがあればユークリッドの互除法が使える整域になるわけです。

なぜなら、ユークリッド関数のその他の定義により、元a,b(b != 0)について
a = b×q + rかつH(r) < H(b)となる元q,rが存在しますが、これを互除法で繰り返していくと、どんどんH(r)が小さくなっていって、最小値になったときにr = 0となって、もうbをrで割れないということになります。

H(r)が最小値になったときにr = 0でなければ、さらに割れることになってしまうので、それは困るからr = 0を要請しているということです。

しかし、「それは困る」という事態を詳しく見てみると、
もしH(r)が最小値なのにも関わらずr = 0でないとしたら、さらにbをrで割ることができて、新しい余りをr'とするとH(r') < H(r)でありH(r)が最小であることに反するから、r = 0であるしかありえなくて、実はこの定義すら必要なかったわけです。


また、「H(a)がすべてのxにおけるH(x)の最小値ならa = 0」が成り立つなら逆も成り立ちます。
その説明をするには写像の仕組みを論理的に説明できるスキルが必要ですが私には残念ながら能がないので、イメージになってしまいますが、
すべてのxにおいて最小となるH(a)は必ず存在するので、そのときa = 0なわけですから、aとH(a)が対応している、写像なのでaが他のところにも対応していることはない、つまりH(a)はすべてのxにおけるH(x)の最小値です。

そしてa = 0ですからH(0)はすべてのxにおけるH(x)の最小値です。

これがもし「H(a) = 0ならa = 0」とかだと、逆は一般に成り立ちません。
H(x) = 0となるxが存在しているとは限らないので、0とaの対応が保証できないからです。
すべてのxにおけるH(x)の最小値は必ず、なんらかのxと対応しているので保証できます。
論理的に説明するにはどうしたらいいんだろうか…。


ちなみに、

ユークリッド環 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0

を見てみると、整域に元a,b(b != 0)についてa = b×q + rかつG(r) < G(b)を満たす写像Gが導入できるならば、
さらにそれと加えてH(a×b) >= H(a)を満たす写像Hを導入できることがいえるそうです。

H(a×b) = H(a)ならbは単元というのはどこにいったのか分かりませんが、まあ多分、これも定義せずともいえるんでしょう。(適当)

つまり、元a,b(b != 0)についてa = b×q + rかつH(r) < H(b)を満たす写像Hが導入できる整域であれば“ユークリッド整域”と呼んでいいわけですね。


論理というのは不思議ですね。
一を聞いて十を知るという言葉がまさにふさわしい。
ひとつ公理として定めたらめちゃめちゃ色々な定理が湧き出てきます。

恐らく、これでユークリッド整域についての記事は最後になります。
冒頭でも述べたとおり、イデアルの勉強をやっているので、引き続き頑張ります。

tag: 勉強 数学 群環体 ユークリッド 公理 写像 関数

ユークリッド整域における元と高さの関係

先日に書いた記事「ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足」で


つまりH(x) = 0のところにx = 0が、H(x) = 1のところに単元のxが、H(x) = 2のところに単元と素元のxが、H(x) > 2のところに単元、素元、いくつかの素元の積がすべて分布してる感じですね。


と記述しました。

「単元と素元~」みたいな言い方をANDと解釈するなら間違いですが、まあORと解釈するなら間違った主張ではないんですけどね。

ただ、たとえばH(x) = 2のところに単元または素元のxが分布しているという主張ですが、これは正しくはH(x) = 2となるxについて、それは単元または素元である、という主張にするべきでした。

前回の言い方だとH(x) = 2となるxが必ず存在するかのような主張となっています。


そして、その他の点でも非常にナンセンスな表現であるということに気が付きました。
後述しますが、まず単元はそんな色んなところに分布してなくて、すべて同じ高さのところにあります。

あと、前述のようにORで解釈するなら間違いではないのですが、この主張を読んだときにイメージするのはH(x) = 2のところに素元となるxがあって、H(x) > 2以降において素元の積のxも含まれてくるという感じだと思います。

そのイメージは間違いですが、主張自体は間違いではないので、たしかに読み手が悪いと言えばそうですが、私の書き方にも問題があると思いました。


それは、1という数、2という数を定数として決定してしまっているところです。
実際は定数は決定せずに、色々な元に対する高さの大小関係だけをイメージしてもらえるような書き方にするほうが自然でした。

事の発端はYahoo!知恵袋で、整数に関数Hを導入したときに、H(x) = |x|ではなくH(x) = 2×|x|とすることも可能である、という指摘を受けたことでした。

このときH(x) = 2のところに単元があって、H(x) >= 4以降に素元などがあり、あとH(x)が奇数であることはありえません。

こんなように、定数はまったく変わってくるわけですが、大小関係は変わりません。
そこで今回は、元による高さの大小関係に着目して判明することを書いていきたいと思います。

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tag: 数学 群環体 ユークリッド 考察 勉強 関係 素数 証明 写像 帰納法

ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足

私が群・環・体の勉強に使っている本を読んでいたら、以前の記事「[環論] ユークリッド整域で陥った詭弁」にも登場しているユークリッド整域において、

0(零元)でも単元でもない任意の元は素元の積に分解できて、それぞれの素元における単元倍の差を除いて一意である

ということが解説されていたのですが、一意性についてはいいとして、分解可能性の証明に足りない部分があると思ったので、自分なりに考えて補足してみます。

そんな、この本の著者様に意見できるほど優れた人間ではないのですが…(汗)


まず、本では元xの高さH(x)の値に注目して、H(x)がどんな値であってもxが0でも単元でもないなら素元分解可能であることから、任意のxについて0でも単元でもないなら素元分解可能であるということを述べようとしています。

ここがまずちょっと難しいですが、すべてのxは必ずなにかしらの自然数H(x)に対応しているわけですから、すべての自然数において対応するxが性質を満たすことがいえれば、すべてのxにおいて性質を満たすことがいえるわけですよ。

厳密に証明しろと言われると、能力がなくて私にはできないですが…。

逆に、すべてのxについて対応する自然数がある性質を満たすとき、すべての自然数がその性質を満たすという論法は一般には正しくありません。
ただし、xから自然数へ対応させる写像が全射であるなら、上の場合と同じ状況になるので、正しいと思います。

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tag: 勉強 数学 群環体 ユークリッド 素数 証明 約数 帰納法 考察 写像

哲学ってどうなのよ

数学をやっていると、とくに数理論理学にぶつかったあたりで哲学との関連性を意識させられるわけですが、
哲学がどのようなことをやっているのか、よく知りません。

論理学が哲学者と数学者によって共に形成されたことは確かだと思いますが。


私は情報科学から移行して数学にハマってしまったように、より根源的なほうの学問(情報科学は数学の上で成り立っている)に興味を持つ傾向があるのですが、

それならば数学は哲学の上で成り立っているじゃないか、という話になると思います。
具体的にいえば数学が論理学の上で成り立っていて、論理学の基礎となるのが哲学です。

ただ、ここまでで述べたとおり論理学は数学の上で成り立っていて、数学は論理学の上で成り立っている、みたいな部分はあるんですよね。

これだけだと循環しているので、やっぱり哲学が最終的な根源となると思います。


ただ、完全にイメージですが、哲学より数学のほうが頭を使う印象がありますね。
私は前述のとおり、より根源的な学問を求める一方で、頭を使いたい欲がありますから、そうなると数学のほうが魅力的に見える。

ただ哲学って何やってるのかがまったく分からないので、哲学は頭を使わないと思い込んでいるのかも知れません。

しかも哲学って数学者が数学に近いアプローチでやっていたり、ぜんぜん違うアプローチで哲学をやってる人がいたりで、範囲が広いですね。


最後に、昔もこのブログで触れましたが、数学者は数学的な事実を宇宙的な真理だと思っていますが、哲学者は数学者が彼らの脳みそで考えられることを考えているだけのゲームみたいなものだと思っているっぽいです。

私も哲学者のほうの意見を支持すると言いました。

あと現代数学の公理主義と相まって、なおさら数学というのは人間の思考の限界に挑戦する究極の頭の体操であり、そうでしかないと思います。


ただ考えてみれば人間風情が自分は神になれると勘違いしてこの世の真理を突き詰めようだなんて、間違いではないでしょうか。

人間はしょせん、哲学なんかせずに、数学というゲームをやっておけばいいんだと思います。

もちろん、数学の基盤となる哲学は重要ですけどね。
ただ、数学の基盤となる哲学は論理学にカテゴライズできると思うので、哲学自体は不要ではないかと。


しかし、もし哲学も決してこの世の真理を突き詰めるものではなく、あくまで人間が見ているこの世界における事実(人間が感じること)を研究する学問であるなら、数学とは違う領域を研究していて面白いと思いますけどね~。

数学は形式科学ですが、哲学は自然科学じゃないの?と思います。


さて、こう言ってきましたが今回の記事は哲学しているんでしょうか。
ただ単に勝手なイメージを書いているだけですが…。

tag: 哲学 論理学 数学 公理 考察

ペアノの公理と特殊な数学的帰納法

今回は、あんまり深く考えないで数学について記事にしようということで、以前の記事で数学的帰納法を使ったときに思ったことを書きます。

あんまり考えて書いていないので、特に新たな発見をしたわけではないのですが、ちょっとしたアイデアとして。


数学的帰納法は、なにも0や1(自然数の最初の数)から始まって1つ後ろの数、その1つ後ろの数というふうにドミノ倒しされるとは限らず、

0や1でない自然数から始まって、1つ後ろでないところの数へとドミノ倒しされることがあります。

数学的帰納法の応用ですね。
我らがWikipediaにも書いてあります。

数学的帰納法 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95


そんでもって、数学的帰納法は形式論理で扱うときにどのようになるかというと、自然数に関する公理のひとつとなります。

ペアノの公理というやつで、それの一番最後の公理が数学的帰納法を正当化するための公理となります。

ペアノの公理 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86


余談ですが、こういうふうに自然数はどんな性質なんだろうと突き詰めて公理を発見するのではなく、自然数とはこういうものなんだという性質を、神ではない我々が定義することができるというのは、なんか数学の面白さのひとつですよね~。

まあ、私が定義できるほど実力はないのですが…。
ただ、こういう公理主義的な考えの上での数学は、自分で作れるという意味でプログラミングと似ていると思います。

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tag: 数学 論理学 論理式 自然数 考察 命題 形式 帰納法

勉強のモチベーションと限界と

最近は数学を何時間も通してする機会がいくらかありました。
特に先月は数学4部作として、4つも数学についての記事を書いたわけで、当然その裏では記事を書くために考察に時間を費やしていました。

昔と比べて、最近はだいぶ数学などの勉強をする頻度や時間が増えていますね~。

もちろん、勉強しなければという義務感があって、勉強を成し遂げたときの充実感はすごくあるのですが、疲労感が溜まっていって今月はどうも疲れてしまいましたね。

やはり限界というものがありますね…。


正直、もともと数学が好きでやっているというより、数学で分からないことがあって、分からないままにしておくのが気分が悪いので、分かる状態になりたいという思いから数学やってるんですよね。

まあ結果だけみると数学をやるモチベーションがあるということになるのだと思いますが。

でも、これって諸刃の剣といいますか、分からないということのストレスを裏で抱えて数学やってますので、それがまあ分かるようになったときの達成感でカバーされているのですが、ぜんぜん分からない場合にはストレスばかり溜まってしまいます。


というのはいいとして、なんにせよ最近は数学をやりすぎて疲れてしまいました。

最近は疲労でペースも落ちて、数学との関わりもYahoo!知恵袋でちょっと分からないところを聞く程度でしたね。
(姉妹ブログの記事「Yahoo!知恵袋で長丁場」を参照)


疲れた原因というのは、数時間、数学をやるというのをいくらか繰り返しただけなんですけどね~。
ヘタレだなと思います。

大学の数学教授になりたいと言っていますが、まずなれるかという問題もあることながら、なってしまった場合に、数学漬けの人生になりますからね。

このヘタレな自分がやっていけるのかというのは不安です。
というか、大学教授になる以前に、大学で数学科に入ってやっていけるのでしょうか。

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tag: 数学 勉強 プログラミング 目標 職業 モチベーション 休暇 クソ記事

[環論] ユークリッド整域で陥った詭弁

今回も環について知っていないと分からない話をします。

群・環・体の勉強で、特別な環であるユークリッド整域について学び始めました。
とりあえず定義だけ読んだのですが、以下のような定義となります。

なお、本に書いてありましたが、普通の定義より強くしているそうです。

任意の整域(A,+,×)に対してa∈Aを非負整数に対応付ける関数H(x)で次のような条件を満たすものが存在する整域をユークリッド整域と呼びます。

1. H(0) = 0かつH(a) = 0ならa = 0 (0は加法の単位元)
2. a ≠ 0かつb ≠ 0なら、H(a×b) >= H(a)かつH(a×b) = H(a)となるのはbが単元のときのみ

3番目の重要そうな条件もあるのですが、ここでは使わないので省略します。
このH(x)をxの高さと呼びます。

そして、a∈Aとb∈Aの公約元xの中で高さが最大になるものを最大公約元と呼びます。
公約元は普通の環でも存在する概念ですが、最大公約元はユークリッド整域でないと存在しない概念ですね。

そして、aとbの最大公約元が単元であるときaとbは互いに素であるといいます。
つまり互いに素であるというのもユークリッド整域でいえる概念なのですが、私はそれに違和感を覚えたわけです。

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tag: 数学 勉強 群環体 素数 証明 約数 論理 ユークリッド

一次不定方程式について調べた

前々回の記事「[環論] 素元と既約元の違いってなんなのよ」および、前回記事「数学ネタは人気が出ないのか…」で書いたとおり、
群・環・体の本を読んでいたら不定方程式にぶち当たったので、最近は群・環・体をやらずに不定方程式について調べていました。

群・環・体の本にも予備知識として不定方程式について解説があったので、それを読んだのと、あと不定方程式は高校一年生のときにやりましたから、数Aの教科書をひっぱりだしてきて読んでみました。

覚えてないからな!!

そこで思ったのですが、本によって不定方程式の解法にしても全然、やり方が違いますね。
数学って知識を丸コピするよりか、自分で考える学問ですから考える人が違うと内容もだいぶ違ってしまうんでしょうね。

私は丸コピしか出来ないですが…。


さて、今回はレポートを書く気分で、(一次の)不定方程式について調べて学んだことを記していきたいと思います。

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tag: 数学 方程式 勉強 素数 証明 数学的帰納法 学校

数学ネタは人気が出ないのか…

先日、記事「PowerShellでジェネリックス!」にて、

ありがとう 参考になりました

というコメントを頂きました。


このブログの方針として、何か疑問に思ったことを検索したらこのブログがヒットして、それを見て疑問が解決する、みたいなブログになりたいと考えているので、
このようなコメントを頂けたのはとても光栄なのですが、

数学ネタをメインにしていくのは閲覧者のニーズに合致しているのか…!!??


なんか数学のネタに全然コメントが来ないし、このまえ記事「数学の勉強について雑記…」に一回だけ来ましたけど情報系の学部の大学生の方でしたし、

当ブログの閲覧者ってやっぱりプログラマとかプログラミング好きとかそういう方々だと思うんですよね。


まあプログラマというと数学好きを兼ねてる割合が高めだと思うんですが、数学好きじゃない人も多いですし、数学好きだとしても数学メインじゃないからコメントできるほど数学の知識もなかったり、数学の長文の記事を読むつもりもない、みたいな感じですか。


数学に傾倒したら駄目なのかチクショーーー!!!!!
どうやったら数学屋の方々にたくさん見てもらえるブログになれるんでしょうか。

ただ、数学好きの方々に見てもらえない理由はいくつか思い当たるんですけどね。


・数学好きの絶対数がプログラミング好きより少ない。

・プログラミング好きの人はブログなどのインターネットの文献を重要視している一方で、数学好きは書籍とか見てて、Webでもブログみたいなのは見ない。

・とくに当ブログのような新規性のないクソブログは見ない。


そもそも当ブログの閲覧者がほぼリピーターで固定であると思われるというのもあるので、既存の閲覧者に数学好きになってもらうしかない!!!

頑張れ閲覧者!!!!!!

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tag: 勉強 数学 ブログ 閲覧者 プログラミング コメント 群環体 方程式

[環論] 素元と既約元の違いってなんなのよ

環について知っていないと分からない話を今回はします。

私が群・環・体の勉強に使っている本では、環の章に可換環における素元の定義として

p = abで表せるならaかbのいずれかが単元であるとき、pは素元である
(pは0でも単元でもない)


というふうに書かれていたんですが、インターネットで調べてみたらこれは実は素元の定義ではなく既約元というものの定義だそうです。

まぎらわしいですね。
これは私が読んでいる本が悪いのか。

私が群・環・体の勉強に使っている本は分かりやすい素晴らしい本ですけども、
環の定義として一般的には、乗法について可換であることは公理としませんが、可換環ではなく普通の環が乗法について可換であるとされていたりして、
素元の件も含めてちょっと一般的な定義とズレていますね。


それで、本当の素元の定義とは何かといいますと、

まず可換環においてp | aと書いたときa = xpとなるxが存在するという意味にして、まあ直感的にはpがaを割り切るといえますけども、

p | abであるならp | aまたはp | bであるとき、pは素元である
(pは0でも単元でもない)


ということになります。


しかし、素元と既約元は似ているというか、環よりもう少し条件を強くした代数系においては一致することがあるんですよね。

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tag: 数学 群環体 証明 素数 方程式

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