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[環論] 素元と既約元の違いってなんなのよ

環について知っていないと分からない話を今回はします。

私が群・環・体の勉強に使っている本では、環の章に可換環における素元の定義として

p = abで表せるならaかbのいずれかが単元であるとき、pは素元である
(pは0でも単元でもない)


というふうに書かれていたんですが、インターネットで調べてみたらこれは実は素元の定義ではなく既約元というものの定義だそうです。

まぎらわしいですね。
これは私が読んでいる本が悪いのか。

私が群・環・体の勉強に使っている本は分かりやすい素晴らしい本ですけども、
環の定義として一般的には、乗法について可換であることは公理としませんが、可換環ではなく普通の環が乗法について可換であるとされていたりして、
素元の件も含めてちょっと一般的な定義とズレていますね。


それで、本当の素元の定義とは何かといいますと、

まず可換環においてp | aと書いたときa = xpとなるxが存在するという意味にして、まあ直感的にはpがaを割り切るといえますけども、

p | abであるならp | aまたはp | bであるとき、pは素元である
(pは0でも単元でもない)


ということになります。


しかし、素元と既約元は似ているというか、環よりもう少し条件を強くした代数系においては一致することがあるんですよね。

たとえば環をもう少し強くした整域、これは私が読んでいる本にも書いてありました。

これは(可換環における)零因子というのが、加法における単位元を0だとして、xy = 0となる0でないyが存在するようなxを零因子というのですが、

環である以上0が零因子であることは証明できます。
しかしながら0以外に零因子が存在しないような環(ここでは可換環とします)を整域というんですよね。

そして、整域においては素元は既約元となります。
逆は成り立ちません。


なぜ整域では素元は既約元になるのか、私が読んでいる本ではそもそも既約元という言葉がないので証明が載ってるわけないのですが、インターネットで調べました。

パクリの証明ですが、可換環において。
引用ではありません。

pは素元で、p = abで表すことにします。
このときab = 1×pよりp | abです。
素元の定義よりp | aまたはp | bとなります。

まずp | aであるとすると、あるxについてa = xpです。
p = abだったのでp = xpb = xbpとなります。
つまり移項してp + (-xbp) = xbp + (-xbp) = 0であり、
分配法則で0で括って(1 + (-xb))×p = 0です。
pは素元で0でないので、整域である以上(1 + (-xb)) = 0です。
よって移項して1 + (-xb) + (xb) = 1 = xbとなります。
xb = 1ということは1は任意の元の約数ですからその約数のbも任意の元の約数で、bは単元です。

p | bであるとした場合は同様の議論でaは単元であります。
よってp = abだったのでaとbのいずれかが単元で、pは既約元です。



しかし疑問に思ったのですが、上の証明では元を交換していますが、可換環でない場合はどうなんでしょうね。
p | aをa = xpとなるxがあると定義しましたが、可換環でないにせよ、少なくともこれがa = pxとなるxがあることと同値でないと、p | aかp | bか、どちらかの場合分けで詰むと思うのですが…。

(とか思いながら調べてみたら割り切るという概念は可換環でないと使わないというコメントも!ならいいんでしょうね。)



さて、整域においては素元は既約元であるだけで逆は成り立ちませんが、素元であることと既約元であることが同値になるような、整域をさらに強くした代数系もあります。

一意分解整域(UFD)という代数系で、こちらは概要を調べてないので定義とかよく分かりません。

しかも私が読んでいる本にも紹介されてないですね。
ユークリッド整域というのは紹介されているんですが、これは一意分解整域よりさらに強い代数系だそうです。

なんにせよユークリッド整域はまだ本で読んでいません。
ちなみに普通の整数はユークリッド整域であるようです。


一意分解整域、ここまでくると素元と既約元は同値なんですね~。
どういう代数系なんでしょうね。

名前からして任意の元を素元の積に分解したとき一意になる環なのかなと思いますけどね。
…あ、調べたら素元の積に分解するんじゃなくて既約元の積に分解するみたいですね。
まぎらわしいな。


というわけで、私が読んだ本ではユークリッド整域を扱うことを見越して素元と既約元をたいして区別しなかったんでしょうね。

一般的な言葉の使い方をしてほしいですが…。
でも良い本です。



さて、以下はおまけですが、整数がpを法として合同であるものの同値類の代表系に対して、加法と乗法を導入したときに、pが素数ならそれは整域であって、pが素数でないなら整域でないと私が読んだ本に書いてありました。

まあこの代表系が環であるかは考えるのが難しいのですが、環なんでしょう。
そして、pが素数でないとしたらpより小さい数の2つの約数に分解できます。

pより小さい数ということは代表系の元となりますので、これらの積をとればpとなって代表系では0となりますので、この2つの約数は0でない零因子となりますね。

一方でpが素数である場合は2つの数の積が0でないpの倍数であるなら、どちらかがpの倍数、つまりp以上の数(もしくは0より小さい数)でなければなりませんので、代表系の中にありません。
よって、代表系の積を0にする零因子は0しかありませんので、こちらは整域です。


これはわかるんです。
しかし、この代表系でpが素数の場合は体でもあると書いていたんです。

これはどうなんでしょうね~。
体であるということは、任意の元にそれぞれ掛けたら1になる元、つまり乗法についての逆元が存在するということですが、仕組みが難しくてよく分かりません。


まあpが素数でない場合はたとえばp = 6として、2なんかに何を掛けても絶対に6の倍数との差は最小でも2で、1になることはないので逆元がないことが分かるんですが、
果たしてpが素数なら絶対にpの倍数との差が1になるポイントがあるのか。


あ、不定方程式を置けば解けるかもしれないですね。

たとえば8とpの差が1になるポイントだったら
8x - py = 1ですか。

ようは、これが8とpを何に変えても一個以上の解を持つかという話ですね。
それは不定方程式の性質の問題でしょうけど、不定方程式なんて覚えてねえよ!


昨日、ためしに大幅に条件を狭めて、aの倍数と(a+1)の倍数の差が1になるポイントというのを考えていたのですが、
たぶんaのほうはnaで表せて、(a+1)のほうは(a+1)^mで表せますね。

なぜならaと(a+1)でまず差が1なのはいいとして、
(a+1)をx倍するとxaの項はaの倍数なので無視できて、+ xが発生しますので、ここがさらにaの倍数 + 1にならないといけなくて、(a+1)をもう一回掛けるしかないからです。

その次はまた1を(a+1)にしないといけないので(a+1)倍します。
というのを繰り返す場合は(a+1)^mとなりますよね。


ただ、こんなテキトーな理論じゃなくてきちんと証明したいなと思って挑戦したのですが、あいかわらず論理力がないので変になってしまい証明できませんでした。

そもそも証明しようと思っているものは正しいのでしょうか。
見当もつかないのがつらいですね~。


数学が得意な皆様、ぜひぜひコメント欄で教えてください。
というか、数学な得意な人、このブログ見てください。
(まあ見てもらえるような面白い記事書けよって話なんですが。)


しかし数学の世界は広い!
暇つぶしに最適だなぁと思います。

なんとも笑えない話ですが、たとえば私が犯罪をやってブタ箱にぶちこまれたら、暇な時間は数学やってると思います。
パソコンは出来ないですが、本なら読めますからね。

tag: 数学 群環体 証明 素数 方程式

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