ブログ「サイバー少年」

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小学六年生ごろからプログラミングを趣味にしている高校生のブログです。
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2年間ほど数学をやった感想

私が数学(大学でやるような理論を読む数学)の勉強を始めたのは、ちょうど当ブログの記事「集合と写像の勉強まとめ」を書いていたあたりからですから、2年以上数学をやってきたことになります。

今では群・環・体の本も読み終えて、有限体のまとめ記事を最後に当ブログに書き残すことができて、一段落したなと感じますね。
(記事「有限体の勉強まとめ (前編)」、記事「有限体の勉強まとめ (後編)」を参照)

今はしばらく数学から離れて他の勉強をする期間を設けようということで、基本情報技術者試験(FE)の勉強をしています。


FEの勉強をしていて思うのですが、情報科学って別に暗記する学問ではないんですよ。
めちゃめちゃ物事の因果関係があってシステムが構築されてるので、論理的な推論というのは多く行うのですが、ただ、なんか数学の理論構築とは違うんですよね。

情報科学は「定義→性質→定義→性質…」みたいに自明な推論をひたすら積み重ねていく感じがあって、理論を読むという意味では面白みに欠けます。
いや、まあ分野にもよるんでしょうけど。

その反面、数学の理論は、ご存知のとおり、「こんな発想してくるか!?」という推論が多くて、頭は使いますが、面白いです。

頭は使うというのが問題なんですけどね。
読む程度なら、なんとかついていけるレベルですが、自分で証明を考えるとかだと、私には到底不可能な思考を迫られます。

結局、私が今まで自分で考えてきた証明って、情報科学じゃないけど自明に自明を重ねた結果、ちょっと背伸びした推論ができたってだけですからねぇ。


要するに私の脳みそのレベルでは情報科学やってろって話なのですが、情報科学も曲者で、推論はシンプルですが、色んな要素がごちゃごちゃしていて、複雑なんですよね。

数学って意外と導入される概念は少なくて、シンプルに事が運ぶんですが、情報科学は登場人物が多すぎて、しかも場合によっては覚えることを必要としますから、これはこれで難しい。

それが原因で、今はFEの対策本を読んでいますけど苦痛ですね~。

数学の本を読んでいるときは、たまげた発想は自分では出来ないけれど、読むのは頑張れば出来るので、達成したときの喜びがクセになります。

読んでいて分からない間は、とんでもない苦痛で二度と数学などやるものかと思うんですが、結局なんとなく理解してしまって、もう一回ってふうに数学やっちゃうんですよね(違法薬物)。


情報科学は前述のとおり、読んでいて分からないってことは、あんまり無いのですが、とにかく面倒くさい、それだけです。
ですから単純作業、しかも記憶力がない私に大量の記憶を要求してくるので、これは苦痛です。

FEの勉強、はやく終わらねえかな、と本を読んでいて毎回のように思うんですけどね。
情報科学は、理論はつまらないので、理論を応用して自分でソフトなりハードなりを作り上げることをモチベーションにしないと、やってられないですね。

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tag: 数学 勉強 群環体 論理学 形式 感想 モチベーション FE 大学 哲学

有限体の勉強まとめ (後編)

記事「有限体の勉強まとめ (前編)」の続きです。
これは長くなりますなあ…。
まあ、最後なので気合い入れて執筆していきましょう。

Yahoo!知恵袋でヒントをもらったりしていますが、細かなところは自分で考えた理論展開です。
全体的な理論展開の方針は、私が読んでいた本にならっています。


まず、有限体の話に入る前に、あとで使う定理として、環同型の話をします。
環Q, Rの間に同型写像φ:Q→Rが定義できるとします。

定理1: 単元c∈Qについてφ(c)∈Rは単元である。
証明
すべてのa∈Qについてa = ca'が成り立ちます。
両辺をφに入れてφ(a) = φ(c)*φ(a')が成り立ちます。
任意のx∈Rについてx = φ(a)となるaが存在し、x = φ(c)*φ(a')です。
よってφ(c)は任意のx∈Rを割り切るため、単元です。

定理2: 単元でないa∈Qについてφ(a)∈Rは単元でない。
証明
φの逆写像φ'を利用して、定理1のように
「単元c∈Rについてφ'(c)∈Qは単元である」と言えます。
対偶をとり「単元でないφ'(c)∈Qについてc∈Rは単元でない」と言えます。
これはφ'が全射なのでφ'(c) = aと置けますが、そのときc = φ(a)と表せます。

定理3: 素元p∈Qについてφ(p)∈Rは素元である。
証明
φ(p) = abとなる任意のa,bを置いたとき、φ'(φ(p)) = p = φ'(a)*φ'(b)が成り立ちます。
pは素元なのでφ'(a)とφ'(b)のどちらかは単元です。
定理1よりφ(φ'(a)) = aとφ(φ'(b)) = bのどちらかは必ず単元です。
pは単元でないので定理2よりφ(p)は単元でなく、0でもないのでφ(p)は素元です。


それでは、有限体の話を始めましょう。

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有限体の勉強まとめ (前編)

できれば昨年中に書いておきたかった有限体の勉強まとめです。
内容が広いので文量はともかく、執筆時間が相当なものになるだろうということで、前編、後編でお送りします。

今のところ予定している配分では、特に後編がかなりヘビーになると思っています。
内容が広いって言っても、広くないんですけどね。
私が書くのが遅いという…。

前編は導入部分の話だけで証明といった証明も特になく、準備運動のようなものです。
いや、前編もかなり時間かけて書いたんですけど。


さて、まず体についてはご存知のものとします。
有限体とは、体を構成している集合が有限集合であるものです。

有限集合ですから要素数を自然数で表すことができます。
この要素数を体の位数と呼びます。

後述する体の要素についての位数というのもあって、両方とも位数という名前ですが別概念です。
同じ名前やめろよと言いたいですが、余談として、たぶん位数がnの体の要素が構成する乗法群が集合の要素数として位数nになるから、なんでしょうね。


なお、ここで体の位数が1、体の要素が1 = 0のひとつだけということは、ありえません。
(このような代数系である場合、零環という名前の環になります。)

この話題は記事「体の準同型写像に必要な定義」でもしましたが、どうやら体の公理系に零環は矛盾しないのだけれど、
零環でない体が充足してくれる魅力的な性質が零環だけ充足してくれないことがあって、テンションだだ下がりだから排除しておきたい、
しかし零環というたったひとつのケースを除外するための公理を設定するのもなんだかなぁって感覚で、暗黙的に体から除外しているみたいですね。

厳密にやるなら体の公理に零環を除外することを加えるべきだと思います。
ただ証明でいちいち「ここで1 = 0ではないので…」と言及するのも面倒ですからねぇ。

数学はフィーリングで考えている部分も大きいので、零環でない体に共通するイメージの論理的妥当性を主張するために零環ではないという条件を持ち出さなければならないのは邪魔です。

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2017年が終わる

いや~、昨年末の記事「気がつけば年の暮れ 2016」も真夜中に書きましたが、今年も真夜中というか曙というか…。
毎年、大晦日は夕方に起きて、オールナイトして元日の朝を満喫して寝るんですよね。
それに今から合わせています。

2017年、今年も終わりますね。
昨年末の上記リンクの記事でも言っていたことですが、同じく今年も早かった!

ところで、時間の流れが早いというのは、どういうことなのでしょうか。
いや、なにか時間以外の次元があって、それの進捗状況と時間との対応が普通より早いときに早いと表現するのは分かるのですが、

その理屈でいけば時間が早いというのは時間と時間を対応させているわけで、その対応は早いも遅いもなくて常に変わらないですからね。

一年の“満足度”という次元と時間を対応させて早いと言っているんですかね。
ただ、“満足度”の定義が曖昧で、なにをもって“満足度”を測るのか分かりませんが…。
考えると、「今年も早かった」というのは解釈が難しいセリフです。


なんて話は置いといて、今年の始めの記事「2017年 新年のご感想」で、「今年の抱負」なんてものは設定するのはやめたけど、目標程度は書きました。


というわけで、まとめればコンピュータ系との関わりを持つというのが、今年の目標ですね。

考えてみれば、サイバー少年という名前まで付けて、プログラミングについて書くブログだと銘打っているのに、数学ばっかりに傾倒してるのも、なにかおかしいですからね。



と、書いたのですが、なにかおかしい状態がさらに激化した一年でございました。

今年の三月まではF#の勉強をやっていたんですけどね。
それ以降は数学(とりわけ群・環・体)しかやってねえ!

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tag: 数学 群環体 目標 新年 勉強 FE 情報 プログラミング サルでもわかる小遣い帳

多項式の商環による体の拡大

前回記事「イデアルと商環とユークリッド整域の商環」で紹介した知識をベースに、予告していたとおり続編にあたるものを今回は書きます。

有限体については完璧に読み解くことが出来ました!
というわけで、それはまた今度まとめたいと思います。
まずは今回の話をしないと、有限体も理解しづらいですからね。


多項式の変数Xに係数環(係数体)の要素を代入すると、多項式として全体の計算結果を得ることが出来ます。
ここで、係数環(係数体)に含まれない要素を代入できないかと考えてみます。
(以後、係数は体に限定して話を進めます。)

そのためには、その要素γと係数体Kの要素の間で加算と乗算が可能でなければなりませんので、要するにKを部分集合にしており尚且つγを含む大きな環が必要です。

別に複素数体を想定しているわけではないですが、その環をCと名付けることにします。
K⊆C、γ∈Cですが、ここでCの加法、乗法はKの中ではKの加法、乗法と一致していなければなりません。

となると単位元は一致しますし、KはCの部分体とでも言えるんですかね。
そこまで本に書いていないので、よく分かりませんが。
あくまでCはKを拡大したものです。
この条件は満たしてないと論理的に矛盾するわけではないのですが、今から行う体の拡大の趣旨に反します。

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イデアルと商環とユークリッド整域の商環

群・環・体の本を読んでいるのですが、有限体の解説を読むのに苦戦しておりまして、最近ようやく方針が見えてきたところであります。

ですから、もう少ししたら理解できるはずですので、それは当ブログでも記事にまとめたいと思っているのですが、
あまりにも最近は数学のネタを書いていないので、つなぎとして商環の話を。

今回は自分で考えたこととかじゃなくて、完全なる本の受け売りなのですが、今後、有限体についてまとめるときに使う知識ですので、閲覧者の皆様にもあらかじめ知っておいていただければ話が早いと思います。


まず、ある条件を満たす環の空集合でない部分集合をイデアルと呼びます。
条件というのは、環RとイデアルI⊆Rについて

1. a∈I かつ b∈I ならば a+b∈I
2. a∈Iな らば -a∈I
3. a∈I かつ b∈R ならば ab∈I

の3つです。
3.はIについて閉じていると言っているわけではなく、bはRの要素であればabはIの要素であるという、さらに強い条件を主張していることに注意してください。

3.によると0∈Rなので、a∈Iとなるaは必ず存在しますから、a0 = 0 ∈ Iです。
ですから、Rを群と見なすとすればIは加法について閉じており、逆元が存在し、単位元0が存在していますので、IはRの部分群となります。

さらに、ここで扱っている環は加法について交換法則が成り立つ可換環を想定しているのですが、そのためIがRの正規部分群であることは明らかです。


さて、任意のa∈Rの倍元全体の集合{ab | b∈R}を(a)と表記するのですが、これがRのイデアルであることは、条件と照らし合わせてみると分かると思います。
このようなイデアルをaによる単項イデアルと呼びます。

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tag: 数学 勉強 同値 イデアル 群環体 ユークリッド 関係 集合 素数 証明

中学生レベルの文字式に疑心暗鬼になる

インパクトのある記事タイトルを考えたら私は中学生未満と言っているような自虐的なものになってしまいましたが、
基本的なところから、あたりまえとされていることを疑ってみるのは重要で、数学徒として誇らしく思います。

さて、群・環・体の本で体に絡めた話として有理式の話が出てきました。
最初は多項式の分数バージョンで、とくに違いはないだろうと思っていたのですが、だんだんと奇妙な事実が発覚して疑心暗鬼になってしまったわけです。

まず、有理式ではなく普通の多項式における事実をおさらいしてみます。

1. あらゆる係数環の要素aについてf(a) = g(a)ならf(x) = g(x)
2. f(x) = g(x)ならf(a) = g(a)
3. (f(x)×g(x))(a) = f(a)×g(a)
4. (f(x)+g(x))(a) = f(a)+g(a)

すべて、証明したわけではないですが、公理なのかよくわかりませんが、直感的な事実として書きました。

ちなみに関係ないけど今、気づいたのですが、2.は多項式環から係数環への写像を導入できることを示していて、3.と4.と自明な(1)(a) = 1はそれが準同型写像であることを示していますね。

および、1.と2.から、多項式が等しいとは、変数になにを代入しても同じ値を得られるということである、ということなのだと読み解けます。

それでは同じことが有理式に適用できるかを確認してみましょう。

1/2という有理式に(x-1)/(x-1) = 1という有理式を乗算してみます。
1/2 × (x-1)/(x-1) = 1/2 × 1 = 1/2で、結局同じ有理式であるはずです。

つまり1(x-1)/2(x-1) = 1/2です。
約分したら同じですね。

これらが等しいということから、もし多項式と同じことが言えるのだとしたらxになにを代入しても等しい値になるはずです。

x = 0の場合、1(0-1)/2(0-1) = -1/-2 = 1/2、これはOKです。
x = 1の場合、1(1-1)/2(1-1) = 0/0、この時点でアウトです。
0/0は1/2と等しいどころか、分母が0なのでもはや数ではありません。

ここで有理式は変数に値を代入しても必ず結果の値を得られるわけではないことに気づいてしまいました。

しかも、等しい有理式に同じ値を代入したにも関わらず値を得られたり得られなかったりするときたもんですから、有理式が等しいという状態は多項式の場合と同じものだとはいえないようです。

一体、有理式が等しいとはどういうことを言っているのでしょうか。

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tag: 数学 群環体 分数 証明 多項式 同型 有理数 同値 順序組

体の準同型写像に必要な定義

群・環・体の本を読んでおりましたら、体の準同型写像の定義として、
体L,Kについて、φ:L→Kは

1. φ(x+y) = φ(x) + φ(y)
2. φ(x*y) = φ(x) * φ(y)

を満たすことはもちろんのこと、L,Kの乗法に関する単位元1_L,1_Kについて

3. φ(1_L)  = 1_K

が成り立つならば、L,Kの加法に関する単位元0_L,0_Kと、xの乗法に関する逆元x'について

4. x != 0_Lならばφ(x) != 0_Kおよびφ(x') = φ(x)'

が成り立って、この4つを満たすφが体の準同型写像であるとされていました。


ただ、群の準同型写像が単位元を単位元に写すので、それと同じように簡約法則を使って、3.も1.と2.から導けるんじゃないのと、思っていました。

ただ、環の準同型写像の定義を引き継いでいるような文脈だったので、あえて3.を要請している程度なのだろうかというわけです。


こないだ記事「群・環の同型は同値関係」を書いたときも、完全にそう思っていて、
環の準同型写像の定義が3.を要請することについて、

+に関する単位元が一致することは簡約法則から導けるのですが、*については簡約法則が使えないので環の場合は*に関する単位元1が一致することも条件となります。

と書きました。

しかし、色々と考えたり調べたりしてみたら、どうやら、そんなに簡単な話ではないっぽいです。
結論から言いますと、私が読んでいる本の文脈では3.を要請するっぽいですね。

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tag: 数学 証明 群環体 勉強 命題 写像 公理 論理 同型 ゼロ

群の準同型定理のイメージをやっと掴めた

群の準同型定理ですが、今まで本を読んで論理的に定理として成り立つことは分かっていたのですが、正直なところ言っている意味、イメージが分かりませんでした。

命題のイメージを掴むということは、わりと大事であると思います。

命題が、証明を読んで論理的に推論可能であることだけを知っていても、
結局なにを言ってるんだ??という状態では、どのように命題を利用していけばいいのか見当もつかないですからね。


イメージを掴むことを心がけてはいるのですが、今まで準同型定理はイメージできなかったんですよね。
体論に入っているというのに、最近ようやく理解できました。


準同型写像φ:G→G'について、φによるGの核(これはGの正規部分群)でGを類別した商群と、φによるGの像は同型であるという定理ですが、

残念ながら有限集合でしか通用しないイメージですが、ようするにGの像⊆G'はφが単射でない限りGより小さいので、まずGの核でGを類別してGより小さい商群を作ります。

このとき商群の中身がどうなってるかが肝心です。
これはφでG'に写したときに同じ元になるGの元をまとめた同値類系となっています。
(これを示すために証明が必要ですが、証明は本で読んでそこからイメージしました。)

ですからφが単射なら同値類は、それぞれひとつしか元を持ちません。
そうでなければどこかに2つ以上の元を持つ同値類があります。


そして、この商群とGの像が一対一に対応しているという話ですが、当たり前といえば当たり前であります。

Gの像と対応している商群の同値類は、Gの像と対応していることを考えれば必ず存在しますし、Gの像の中の同じ元へと写されるGの元は同じ同値類に属するはずですから、これは一対一となります。

この一対一の対応に則した写像を定めれば、その写像は全単射となりますね。
あとは、その写像が準同型写像の定義を満たすことが必要ですが、実はこのメカニズムはイメージできていません。

ただ要点は一対一対応があるということだと思うので、まあ大丈夫じゃないかなと思いますね。


ちなみにGの核は商群の元、同値類のひとつですが、φ(e)=e'より、Gの核には必ずGの単位元eが入っているので、
Gの核の元はすべてφ(e)と同じ値になるということでしたので、つまりすべてe'に写しますし、Gの核に入っていないようなφ(a)=e'となるaは存在しません。


以上です。
まだイメージを掴めていない人が、これを読んでも説明がヘタクソすぎてよく分からないと思いますが、私自身はだいぶイメージを掴めて満足しています。

自己満足の記事です。

わりと当たり前のことを言っているだけの定理だったのですが、イメージできたときは少し面白かったですね。

ただ、すごく大事な定理らしいのですが、どのように活用するのかよく分かりません。
どうなんでしょうか。

tag: 数学 証明 群環体 勉強 命題 同値 写像 同型 集合

群・環の同型は同値関係

今日は読み続けている群・環・体の本の、環の章を読み切りました!
最後は、環A,Bが同型なら、環Aが整域なら環Bも整域であるし、環Aが体なら環Bも体であるという定理の証明でした。

同型ならばイメージとしては、同じ構造をしているので当然、整域だとか体だとかの構造は受け継ぐだろうと思いますが、証明しろって言われると、なかなか難しいですね。


証明を本で読みまして、よくよく考えたら確かに、本質的には同じ構造をしていることを使っているんだろうなぁと思わされるのですが、一見した程度ではどういう発想でこうなったのか理解できません。

数学できる人は的確に何を言えば証明できるのか考えられるんですかね。
私もそんな人間に憧れます。


さて、その整域や体などの構造がAからBへ受け継がれることの証明は、ここでは語りませんが、本では、AとBが同型なら、逆にBからAへと構造を受け継ぐことも真であると主張しており、
なぜならばAとBが同型なら明らかにBとAが同型であるので、AからBへ構造が受け継ぐのと同様の証明で示されるとしています。

ようは同型というのは、それを表す記号から推測したって、どう考えても同値関係であり、ここでは対称律を用いた、と私は読み解きます。


しかしながら、本の中では明確にふたつの環が同型であることが同値関係であることの証明がなされていません。
そこで考えてみて、証明できたのですが、反射律と推移律を示すことは比較的簡単だったものの対称律だけは難しかった!

対称律を主に書いていきたいと思います。

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