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中学生レベルの文字式に疑心暗鬼になる

インパクトのある記事タイトルを考えたら私は中学生未満と言っているような自虐的なものになってしまいましたが、
基本的なところから、あたりまえとされていることを疑ってみるのは重要で、数学徒として誇らしく思います。

さて、群・環・体の本で体に絡めた話として有理式の話が出てきました。
最初は多項式の分数バージョンで、とくに違いはないだろうと思っていたのですが、だんだんと奇妙な事実が発覚して疑心暗鬼になってしまったわけです。

まず、有理式ではなく普通の多項式における事実をおさらいしてみます。

1. あらゆる係数環の要素aについてf(a) = g(a)ならf(x) = g(x)
2. f(x) = g(x)ならf(a) = g(a)
3. (f(x)×g(x))(a) = f(a)×g(a)
4. (f(x)+g(x))(a) = f(a)+g(a)

すべて、証明したわけではないですが、公理なのかよくわかりませんが、直感的な事実として書きました。

ちなみに関係ないけど今、気づいたのですが、2.は多項式環から係数環への写像を導入できることを示していて、3.と4.と自明な(1)(a) = 1はそれが準同型写像であることを示していますね。

および、1.と2.から、多項式が等しいとは、変数になにを代入しても同じ値を得られるということである、ということなのだと読み解けます。

それでは同じことが有理式に適用できるかを確認してみましょう。

1/2という有理式に(x-1)/(x-1) = 1という有理式を乗算してみます。
1/2 × (x-1)/(x-1) = 1/2 × 1 = 1/2で、結局同じ有理式であるはずです。

つまり1(x-1)/2(x-1) = 1/2です。
約分したら同じですね。

これらが等しいということから、もし多項式と同じことが言えるのだとしたらxになにを代入しても等しい値になるはずです。

x = 0の場合、1(0-1)/2(0-1) = -1/-2 = 1/2、これはOKです。
x = 1の場合、1(1-1)/2(1-1) = 0/0、この時点でアウトです。
0/0は1/2と等しいどころか、分母が0なのでもはや数ではありません。

ここで有理式は変数に値を代入しても必ず結果の値を得られるわけではないことに気づいてしまいました。

しかも、等しい有理式に同じ値を代入したにも関わらず値を得られたり得られなかったりするときたもんですから、有理式が等しいという状態は多項式の場合と同じものだとはいえないようです。

一体、有理式が等しいとはどういうことを言っているのでしょうか。

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tag: 数学 群環体 分数 証明 多項式 同型 有理数 同値 順序組

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