ブログ「サイバー少年」

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当ブログは3月31日をもって更新終了します。

有限体の勉強まとめ (前編)

できれば昨年中に書いておきたかった有限体の勉強まとめです。
内容が広いので文量はともかく、執筆時間が相当なものになるだろうということで、前編、後編でお送りします。

今のところ予定している配分では、特に後編がかなりヘビーになると思っています。
内容が広いって言っても、広くないんですけどね。
私が書くのが遅いという…。

前編は導入部分の話だけで証明といった証明も特になく、準備運動のようなものです。
いや、前編もかなり時間かけて書いたんですけど。


さて、まず体についてはご存知のものとします。
有限体とは、体を構成している集合が有限集合であるものです。

有限集合ですから要素数を自然数で表すことができます。
この要素数を体の位数と呼びます。

後述する体の要素についての位数というのもあって、両方とも位数という名前ですが別概念です。
同じ名前やめろよと言いたいですが、余談として、たぶん位数がnの体の要素が構成する乗法群が集合の要素数として位数nになるから、なんでしょうね。


なお、ここで体の位数が1、体の要素が1 = 0のひとつだけということは、ありえません。
(このような代数系である場合、零環という名前の環になります。)

この話題は記事「体の準同型写像に必要な定義」でもしましたが、どうやら体の公理系に零環は矛盾しないのだけれど、
零環でない体が充足してくれる魅力的な性質が零環だけ充足してくれないことがあって、テンションだだ下がりだから排除しておきたい、
しかし零環というたったひとつのケースを除外するための公理を設定するのもなんだかなぁって感覚で、暗黙的に体から除外しているみたいですね。

厳密にやるなら体の公理に零環を除外することを加えるべきだと思います。
ただ証明でいちいち「ここで1 = 0ではないので…」と言及するのも面倒ですからねぇ。

数学はフィーリングで考えている部分も大きいので、零環でない体に共通するイメージの論理的妥当性を主張するために零環ではないという条件を持ち出さなければならないのは邪魔です。

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tag: 数学 群環体 集合 有限 同値 素数 ユークリッド 勉強 多項式 終活

多項式の商環による体の拡大

前回記事「イデアルと商環とユークリッド整域の商環」で紹介した知識をベースに、予告していたとおり続編にあたるものを今回は書きます。

有限体については完璧に読み解くことが出来ました!
というわけで、それはまた今度まとめたいと思います。
まずは今回の話をしないと、有限体も理解しづらいですからね。


多項式の変数Xに係数環(係数体)の要素を代入すると、多項式として全体の計算結果を得ることが出来ます。
ここで、係数環(係数体)に含まれない要素を代入できないかと考えてみます。
(以後、係数は体に限定して話を進めます。)

そのためには、その要素γと係数体Kの要素の間で加算と乗算が可能でなければなりませんので、要するにKを部分集合にしており尚且つγを含む大きな環が必要です。

別に複素数体を想定しているわけではないですが、その環をCと名付けることにします。
K⊆C、γ∈Cですが、ここでCの加法、乗法はKの中ではKの加法、乗法と一致していなければなりません。

となると単位元は一致しますし、KはCの部分体とでも言えるんですかね。
そこまで本に書いていないので、よく分かりませんが。
あくまでCはKを拡大したものです。
この条件は満たしてないと論理的に矛盾するわけではないのですが、今から行う体の拡大の趣旨に反します。

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tag: 数学 群環体 証明 集合 素数 勉強 ユークリッド 同値 写像 複素数

イデアルと商環とユークリッド整域の商環

群・環・体の本を読んでいるのですが、有限体の解説を読むのに苦戦しておりまして、最近ようやく方針が見えてきたところであります。

ですから、もう少ししたら理解できるはずですので、それは当ブログでも記事にまとめたいと思っているのですが、
あまりにも最近は数学のネタを書いていないので、つなぎとして商環の話を。

今回は自分で考えたこととかじゃなくて、完全なる本の受け売りなのですが、今後、有限体についてまとめるときに使う知識ですので、閲覧者の皆様にもあらかじめ知っておいていただければ話が早いと思います。


まず、ある条件を満たす環の空集合でない部分集合をイデアルと呼びます。
条件というのは、環RとイデアルI⊆Rについて

1. a∈I かつ b∈I ならば a+b∈I
2. a∈Iな らば -a∈I
3. a∈I かつ b∈R ならば ab∈I

の3つです。
3.はIについて閉じていると言っているわけではなく、bはRの要素であればabはIの要素であるという、さらに強い条件を主張していることに注意してください。

3.によると0∈Rなので、a∈Iとなるaは必ず存在しますから、a0 = 0 ∈ Iです。
ですから、Rを群と見なすとすればIは加法について閉じており、逆元が存在し、単位元0が存在していますので、IはRの部分群となります。

さらに、ここで扱っている環は加法について交換法則が成り立つ可換環を想定しているのですが、そのためIがRの正規部分群であることは明らかです。


さて、任意のa∈Rの倍元全体の集合{ab | b∈R}を(a)と表記するのですが、これがRのイデアルであることは、条件と照らし合わせてみると分かると思います。
このようなイデアルをaによる単項イデアルと呼びます。

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tag: 数学 勉強 同値 イデアル 群環体 ユークリッド 関係 集合 素数 証明

ユークリッド整域の定義を見直す

またユークリッド整域の話かよ!!!!
もうすでにイデアルの勉強に移っているんですが、ちょっと前にユークリッド整域で判明した事実があったので、今回は軽くですが記しておきます。

記事「ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足」で、x = 0ならH(x) = 0およびH(x) = 0ならx = 0は定義せずとも定理として成り立つだろうかと疑問を書いていました。

結論からいうと定義しなければ定理としては成り立ちません。
ただ、そもそもユークリッド整域において、これが成り立つ必要はありません。

必要なのは「H(a)がすべてのxにおけるH(x)の最小値ならa = 0」です。
これがあればユークリッドの互除法が使える整域になるわけです。

なぜなら、ユークリッド関数のその他の定義により、元a,b(b != 0)について
a = b×q + rかつH(r) < H(b)となる元q,rが存在しますが、これを互除法で繰り返していくと、どんどんH(r)が小さくなっていって、最小値になったときにr = 0となって、もうbをrで割れないということになります。

H(r)が最小値になったときにr = 0でなければ、さらに割れることになってしまうので、それは困るからr = 0を要請しているということです。

しかし、「それは困る」という事態を詳しく見てみると、
もしH(r)が最小値なのにも関わらずr = 0でないとしたら、さらにbをrで割ることができて、新しい余りをr'とするとH(r') < H(r)でありH(r)が最小であることに反するから、r = 0であるしかありえなくて、実はこの定義すら必要なかったわけです。


また、「H(a)がすべてのxにおけるH(x)の最小値ならa = 0」が成り立つなら逆も成り立ちます。
その説明をするには写像の仕組みを論理的に説明できるスキルが必要ですが私には残念ながら能がないので、イメージになってしまいますが、
すべてのxにおいて最小となるH(a)は必ず存在するので、そのときa = 0なわけですから、aとH(a)が対応している、写像なのでaが他のところにも対応していることはない、つまりH(a)はすべてのxにおけるH(x)の最小値です。

そしてa = 0ですからH(0)はすべてのxにおけるH(x)の最小値です。

これがもし「H(a) = 0ならa = 0」とかだと、逆は一般に成り立ちません。
H(x) = 0となるxが存在しているとは限らないので、0とaの対応が保証できないからです。
すべてのxにおけるH(x)の最小値は必ず、なんらかのxと対応しているので保証できます。
論理的に説明するにはどうしたらいいんだろうか…。


ちなみに、

ユークリッド環 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0

を見てみると、整域に元a,b(b != 0)についてa = b×q + rかつG(r) < G(b)を満たす写像Gが導入できるならば、
さらにそれと加えてH(a×b) >= H(a)を満たす写像Hを導入できることがいえるそうです。

H(a×b) = H(a)ならbは単元というのはどこにいったのか分かりませんが、まあ多分、これも定義せずともいえるんでしょう。(適当)

つまり、元a,b(b != 0)についてa = b×q + rかつH(r) < H(b)を満たす写像Hが導入できる整域であれば“ユークリッド整域”と呼んでいいわけですね。


論理というのは不思議ですね。
一を聞いて十を知るという言葉がまさにふさわしい。
ひとつ公理として定めたらめちゃめちゃ色々な定理が湧き出てきます。

恐らく、これでユークリッド整域についての記事は最後になります。
冒頭でも述べたとおり、イデアルの勉強をやっているので、引き続き頑張ります。

tag: 勉強 数学 群環体 ユークリッド 公理 写像 関数

ユークリッド整域における元と高さの関係

先日に書いた記事「ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足」で


つまりH(x) = 0のところにx = 0が、H(x) = 1のところに単元のxが、H(x) = 2のところに単元と素元のxが、H(x) > 2のところに単元、素元、いくつかの素元の積がすべて分布してる感じですね。


と記述しました。

「単元と素元~」みたいな言い方をANDと解釈するなら間違いですが、まあORと解釈するなら間違った主張ではないんですけどね。

ただ、たとえばH(x) = 2のところに単元または素元のxが分布しているという主張ですが、これは正しくはH(x) = 2となるxについて、それは単元または素元である、という主張にするべきでした。

前回の言い方だとH(x) = 2となるxが必ず存在するかのような主張となっています。


そして、その他の点でも非常にナンセンスな表現であるということに気が付きました。
後述しますが、まず単元はそんな色んなところに分布してなくて、すべて同じ高さのところにあります。

あと、前述のようにORで解釈するなら間違いではないのですが、この主張を読んだときにイメージするのはH(x) = 2のところに素元となるxがあって、H(x) > 2以降において素元の積のxも含まれてくるという感じだと思います。

そのイメージは間違いですが、主張自体は間違いではないので、たしかに読み手が悪いと言えばそうですが、私の書き方にも問題があると思いました。


それは、1という数、2という数を定数として決定してしまっているところです。
実際は定数は決定せずに、色々な元に対する高さの大小関係だけをイメージしてもらえるような書き方にするほうが自然でした。

事の発端はYahoo!知恵袋で、整数に関数Hを導入したときに、H(x) = |x|ではなくH(x) = 2×|x|とすることも可能である、という指摘を受けたことでした。

このときH(x) = 2のところに単元があって、H(x) >= 4以降に素元などがあり、あとH(x)が奇数であることはありえません。

こんなように、定数はまったく変わってくるわけですが、大小関係は変わりません。
そこで今回は、元による高さの大小関係に着目して判明することを書いていきたいと思います。

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ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足

私が群・環・体の勉強に使っている本を読んでいたら、以前の記事「[環論] ユークリッド整域で陥った詭弁」にも登場しているユークリッド整域において、

0(零元)でも単元でもない任意の元は素元の積に分解できて、それぞれの素元における単元倍の差を除いて一意である

ということが解説されていたのですが、一意性についてはいいとして、分解可能性の証明に足りない部分があると思ったので、自分なりに考えて補足してみます。

そんな、この本の著者様に意見できるほど優れた人間ではないのですが…(汗)


まず、本では元xの高さH(x)の値に注目して、H(x)がどんな値であってもxが0でも単元でもないなら素元分解可能であることから、任意のxについて0でも単元でもないなら素元分解可能であるということを述べようとしています。

ここがまずちょっと難しいですが、すべてのxは必ずなにかしらの自然数H(x)に対応しているわけですから、すべての自然数において対応するxが性質を満たすことがいえれば、すべてのxにおいて性質を満たすことがいえるわけですよ。

厳密に証明しろと言われると、能力がなくて私にはできないですが…。

逆に、すべてのxについて対応する自然数がある性質を満たすとき、すべての自然数がその性質を満たすという論法は一般には正しくありません。
ただし、xから自然数へ対応させる写像が全射であるなら、上の場合と同じ状況になるので、正しいと思います。

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[環論] ユークリッド整域で陥った詭弁

今回も環について知っていないと分からない話をします。

群・環・体の勉強で、特別な環であるユークリッド整域について学び始めました。
とりあえず定義だけ読んだのですが、以下のような定義となります。

なお、本に書いてありましたが、普通の定義より強くしているそうです。

任意の整域(A,+,×)に対してa∈Aを非負整数に対応付ける関数H(x)で次のような条件を満たすものが存在する整域をユークリッド整域と呼びます。

1. H(0) = 0かつH(a) = 0ならa = 0 (0は加法の単位元)
2. a ≠ 0かつb ≠ 0なら、H(a×b) >= H(a)かつH(a×b) = H(a)となるのはbが単元のときのみ

3番目の重要そうな条件もあるのですが、ここでは使わないので省略します。
このH(x)をxの高さと呼びます。

そして、a∈Aとb∈Aの公約元xの中で高さが最大になるものを最大公約元と呼びます。
公約元は普通の環でも存在する概念ですが、最大公約元はユークリッド整域でないと存在しない概念ですね。

そして、aとbの最大公約元が単元であるときaとbは互いに素であるといいます。
つまり互いに素であるというのもユークリッド整域でいえる概念なのですが、私はそれに違和感を覚えたわけです。

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