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ユークリッド整域の定義を見直す

またユークリッド整域の話かよ!!!!
もうすでにイデアルの勉強に移っているんですが、ちょっと前にユークリッド整域で判明した事実があったので、今回は軽くですが記しておきます。

記事「ユークリッド整域の素元分解可能性について自分なりに補足」で、x = 0ならH(x) = 0およびH(x) = 0ならx = 0は定義せずとも定理として成り立つだろうかと疑問を書いていました。

結論からいうと定義しなければ定理としては成り立ちません。
ただ、そもそもユークリッド整域において、これが成り立つ必要はありません。

必要なのは「H(a)がすべてのxにおけるH(x)の最小値ならa = 0」です。
これがあればユークリッドの互除法が使える整域になるわけです。

なぜなら、ユークリッド関数のその他の定義により、元a,b(b != 0)について
a = b×q + rかつH(r) < H(b)となる元q,rが存在しますが、これを互除法で繰り返していくと、どんどんH(r)が小さくなっていって、最小値になったときにr = 0となって、もうbをrで割れないということになります。

H(r)が最小値になったときにr = 0でなければ、さらに割れることになってしまうので、それは困るからr = 0を要請しているということです。

しかし、「それは困る」という事態を詳しく見てみると、
もしH(r)が最小値なのにも関わらずr = 0でないとしたら、さらにbをrで割ることができて、新しい余りをr'とするとH(r') < H(r)でありH(r)が最小であることに反するから、r = 0であるしかありえなくて、実はこの定義すら必要なかったわけです。


また、「H(a)がすべてのxにおけるH(x)の最小値ならa = 0」が成り立つなら逆も成り立ちます。
その説明をするには写像の仕組みを論理的に説明できるスキルが必要ですが私には残念ながら能がないので、イメージになってしまいますが、
すべてのxにおいて最小となるH(a)は必ず存在するので、そのときa = 0なわけですから、aとH(a)が対応している、写像なのでaが他のところにも対応していることはない、つまりH(a)はすべてのxにおけるH(x)の最小値です。

そしてa = 0ですからH(0)はすべてのxにおけるH(x)の最小値です。

これがもし「H(a) = 0ならa = 0」とかだと、逆は一般に成り立ちません。
H(x) = 0となるxが存在しているとは限らないので、0とaの対応が保証できないからです。
すべてのxにおけるH(x)の最小値は必ず、なんらかのxと対応しているので保証できます。
論理的に説明するにはどうしたらいいんだろうか…。


ちなみに、

ユークリッド環 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0

を見てみると、整域に元a,b(b != 0)についてa = b×q + rかつG(r) < G(b)を満たす写像Gが導入できるならば、
さらにそれと加えてH(a×b) >= H(a)を満たす写像Hを導入できることがいえるそうです。

H(a×b) = H(a)ならbは単元というのはどこにいったのか分かりませんが、まあ多分、これも定義せずともいえるんでしょう。(適当)

つまり、元a,b(b != 0)についてa = b×q + rかつH(r) < H(b)を満たす写像Hが導入できる整域であれば“ユークリッド整域”と呼んでいいわけですね。


論理というのは不思議ですね。
一を聞いて十を知るという言葉がまさにふさわしい。
ひとつ公理として定めたらめちゃめちゃ色々な定理が湧き出てきます。

恐らく、これでユークリッド整域についての記事は最後になります。
冒頭でも述べたとおり、イデアルの勉強をやっているので、引き続き頑張ります。

tag: 勉強 数学 群環体 ユークリッド 公理 写像 関数

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