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商群と演算の両立性と、ときどき正規部分群

私が読んでいる群・環・体の本では、環の章を読んでいるのですが「環RをイデアルIで類別する同値関係は加法、減法、乗法に関してRの元と両立する」と書いていて、ここの減法に関しても両立するというところに注目していただきたいのですが、

加法、減法に関して両立するのはRを群と見なすと、この同値関係はRを正規部分群Iで類別する同値関係になるから、これが加法、減法に関して両立するのは群の章で証明したよね、という説明になっていました。


(なお念のため説明しておくと、同値関係が演算△に関して両立しているとは、aとbが同値、cとdが同値ならa△cとb△dが同値であることを表します。)


しかし、群の章を読み返してみると、加法に関して両立することしか書いておらず、「あれれ?減法はなんで両立してるんだ?」と思ったわけです。

そんでもって少し考えたのですが、「あ、環Rは群と違って加法に関して必ず可換だ」と、思いつきました。

a,b∈Rについてaとbが同値、記号で書けばa~bとはa + (-b) ∈ Iだったのですが、可換律よりa + (-b) = -b + a = -b + (-(-a) ∈ Iなので、-b~-a、対称律より-a~-b、つまりa~bならば-a~-bとなります。

ここで、x,y,a,b∈Rについてx~y,a~bだった場合、x~y,-a~-bとなりますので、加法に関しては両立していたのでx+(-a) ~ y+(-b)、ということで減法に関しても両立していることがわかりました。

要するに、これを環の話だけでなく群の話に還元すると、その群が可換群であれば部分群で類別する同値関係は減法に関しても両立する、ということになります。


しかし、実は可換群でなくても、加法に関して両立しているなら必然的に減法に関しても両立しているということが後の考察により判明しましたので、それに気づくまでの過程を記していきたいと思います。



最初に、これは一番最後に気づいた証明方法なのですが、一番シンプルで結論的なものとなりますので、ここで示しておきます。

先ほど示したとおり、「a~bのとき-a~-b」が成り立つなら減法に関して両立することになりますので、これを証明することを目指します。

a~bとします。
反射律より-a~-aであり、加法に関する両立性を用いて
a+(-a)~b+(-a)、つまり0~b+(-a)となります。
次に反射律より-b~-bであり、同じく両立性から
(-b)+0~(-b)+b+(-a)、つまり-b~0+(-a)、-b~-aとなります。
対称律より-a~-bとなり、これが示したいことでした。



と、まあ、これは最終的に気づいた証明方法なのですが、しばらく私は可換群でなければ減法に関して両立することはないと思い続けて本を読み進めておりました。

しかし、環の準同型写像についての説明を読んだときに気づいてしまったのです。

環RとRのイデアルIについて、RをIで類別する同値関係は加法に関して両立していることから、この同値類は環をなしうる、つまり商環R/Iが定義できるわけですが、

これまた加法や乗法の両立性により、RからR/Iへの準同型写像が定義できます。


これはページを戻してみると群についても同じことで、群Gを正規部分群Hで類別する同値関係は加法に関して両立しているので、この同値類は群をなしうる、つまり商群G/Hが定義できます。

ここで加法の両立性によりGからG/Hへの準同型写像が定義できます。
この準同型写像φは単純に
φ(x) = xを含む同値類 = H+xです。


準同型写像にはφ(-x) = -φ(x)という性質があります。

とすると、たとえばaとbが同値だったとします。
φ(a) = φ(b)となります。
なので、-φ(a) = -φ(b)も成り立つはずです。
ここで準同型写像の性質から、
φ(-a) = φ(-b)となります。

なんということでしょう、実は-aと-bが同値であることが導けてしまいました。
ここでGが可換群であるということは、まったく仮定していません。


さらに考察してみると、これは準同型写像を持ち出さなくても、商群の話だけで済むものでした。

商群G/Hは、H+xの逆元-(H+x)をH+(-x)と定義します。(#)

上の証明の準同型写像φ(x)を定義に即して、「xを含む同値類を表す記号」と解釈することにすれば、φ(-x) = -φ(x)に相当すること(#)も成り立っているわけですので、上の証明は商群の話だけで片付きます。


つまり、「GをHで類別する同値関係が加法に関して両立している」ならば「商群G/Hが定義できる」、それならば「この同値関係は減法に関しても両立している」という、
若干、遠回りなルートですが、こういう証明方法でも減法に関する両立性を示すことが可能です。


では、最初はGが可換群でなければ減法に関する両立性は成り立たないかのように騙されたわけでしたが、あれはなんだったのでしょうか。

それは、正規部分群と関連していると思います。
そもそも本を読んでみると「GをHで類別する同値関係が加法に関して両立している」ことは、「Hが正規部分群である」ことから導くものです。

Gが可換群であれば必ずHは正規部分群であるので、「Gが可換群である」というのはより強い条件です。

ですからGが可換群であれば必ず減法に関する両立性が成り立つことは言えるわけですが、Gが可換群であれば先ほどの面倒くさいルートを使わずとも、特別な場合としてもっと単純なルートで示す方法があったということなんだろうな、と思います。

ただ、その単純なルートはGが可換群でなければ通用しないので、まるでGが可換群でなければ減法に関する両立性が成り立たないかのように思い込んでしまったというわけですね。


そして、実は「Hが正規部分群である」ことだけでも減法に関する両立性が示せるが、それには商群を持ち出さなくてはならないと。

しかしこれも、商群を持ち出さなくてもよい証明方法があるんじゃないかと疑いまして、案の定ありました。

それが先ほど準同型写像の話を始める前に記載したものです。
加法に関して両立していることから直接的に減法に関して両立していることを導けました。



今回のメインの話はこれで終わりですが、余談として、商群を持ち出さないと証明できないと思っていたものが実は同値関係だけで証明できたという話がもう一個あります。

a+b~0ならばa~x,b~-xとなるxが存在するかという問題なのですが、かなり整数という具体例を意識しているのと、今回のメインの話を考察し始めるより少し前に考察し始めたものです。

最初はa,b,xをユークリッド整域の元ということに限定して、不定方程式を使って示そうかと考えたのですが上手くいかず、
ユークリッド整域のことは忘れて、まず商群を持ち出して示すアイデアで証明できました。

記号は同じくG,Hを使いますが、
(H+a) + (H+b) = (H+0) = (H+a) + (H+(-a))が前提から導けます。
ここで簡約法則なり逆元の一意性なりを用いて、
(H+b) = (H+(-a))が出てきます。
よってb~-aであり、一方で反射律からa~aなので、x = aでxが存在します。

今回のメインの話が商群を持ち出さずに証明できたことから、これも商群を持ち出す必要なかったんじゃないかと思いまして、考えてみたら、そのとおりでした。


a+b~0、反射律より-a~-aなので加法の両立性から
(-a)+a+b~(-a)+0、つまり0+b~-a、b~-aとなります。
一方で反射律よりa~aです。
よってx = aでxが存在します。

思いつくのはなかなか私には難しかったのですが、書いてみると簡単ですね。
私が無能なので思いつくのに時間がかかっただけでしょうか。

そもそもとして、当たり前っちゃ当たり前な結論ではありますよね~。



先日書いた記事「情報処理への未練」にて、数学の勉強を休止して基本情報技術者試験の勉強をしようと決意していましたが、そのタイミングがちょっと難しいですね。

現在、読んでいる群・環・体の本が、もう後ほんの少しで環の章を読み終えるのですが、続けて体の章、おまけのガロア理論のさわりの章まで読んで、本を読み終えてしまおうかと。

ただそうなると、これまでのペースからして4ヶ月ほどかかるんじゃないかと思うんですよね。

しかし、かといって群・環・体の勉強を休止してしまうと再開したときに今までの知識を忘れてしまっていて、わけわかめ状態になることが目に見えているので、
おそらく時間はかかりますが現在、読んでいる本を読み終えるのを待つことになると思います。

tag: 数学 群環体 勉強 写像 演算 同値 可換律 証明 イデアル

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