ブログ「サイバー少年」

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小学六年生ごろからプログラミングを趣味にしている高校生のブログです。
勉強したことについての記事などを書いています。フリーソフトも制作、公開しています。
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当ブログは3月31日をもって更新終了します。

有限体の勉強まとめ (後編)

記事「有限体の勉強まとめ (前編)」の続きです。
これは長くなりますなあ…。
まあ、最後なので気合い入れて執筆していきましょう。

Yahoo!知恵袋でヒントをもらったりしていますが、細かなところは自分で考えた理論展開です。
全体的な理論展開の方針は、私が読んでいた本にならっています。


まず、有限体の話に入る前に、あとで使う定理として、環同型の話をします。
環Q, Rの間に同型写像φ:Q→Rが定義できるとします。

定理1: 単元c∈Qについてφ(c)∈Rは単元である。
証明
すべてのa∈Qについてa = ca'が成り立ちます。
両辺をφに入れてφ(a) = φ(c)*φ(a')が成り立ちます。
任意のx∈Rについてx = φ(a)となるaが存在し、x = φ(c)*φ(a')です。
よってφ(c)は任意のx∈Rを割り切るため、単元です。

定理2: 単元でないa∈Qについてφ(a)∈Rは単元でない。
証明
φの逆写像φ'を利用して、定理1のように
「単元c∈Rについてφ'(c)∈Qは単元である」と言えます。
対偶をとり「単元でないφ'(c)∈Qについてc∈Rは単元でない」と言えます。
これはφ'が全射なのでφ'(c) = aと置けますが、そのときc = φ(a)と表せます。

定理3: 素元p∈Qについてφ(p)∈Rは素元である。
証明
φ(p) = abとなる任意のa,bを置いたとき、φ'(φ(p)) = p = φ'(a)*φ'(b)が成り立ちます。
pは素元なのでφ'(a)とφ'(b)のどちらかは単元です。
定理1よりφ(φ'(a)) = aとφ(φ'(b)) = bのどちらかは必ず単元です。
pは単元でないので定理2よりφ(p)は単元でなく、0でもないのでφ(p)は素元です。


それでは、有限体の話を始めましょう。

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有限体の勉強まとめ (前編)

できれば昨年中に書いておきたかった有限体の勉強まとめです。
内容が広いので文量はともかく、執筆時間が相当なものになるだろうということで、前編、後編でお送りします。

今のところ予定している配分では、特に後編がかなりヘビーになると思っています。
内容が広いって言っても、広くないんですけどね。
私が書くのが遅いという…。

前編は導入部分の話だけで証明といった証明も特になく、準備運動のようなものです。
いや、前編もかなり時間かけて書いたんですけど。


さて、まず体についてはご存知のものとします。
有限体とは、体を構成している集合が有限集合であるものです。

有限集合ですから要素数を自然数で表すことができます。
この要素数を体の位数と呼びます。

後述する体の要素についての位数というのもあって、両方とも位数という名前ですが別概念です。
同じ名前やめろよと言いたいですが、余談として、たぶん位数がnの体の要素が構成する乗法群が集合の要素数として位数nになるから、なんでしょうね。


なお、ここで体の位数が1、体の要素が1 = 0のひとつだけということは、ありえません。
(このような代数系である場合、零環という名前の環になります。)

この話題は記事「体の準同型写像に必要な定義」でもしましたが、どうやら体の公理系に零環は矛盾しないのだけれど、
零環でない体が充足してくれる魅力的な性質が零環だけ充足してくれないことがあって、テンションだだ下がりだから排除しておきたい、
しかし零環というたったひとつのケースを除外するための公理を設定するのもなんだかなぁって感覚で、暗黙的に体から除外しているみたいですね。

厳密にやるなら体の公理に零環を除外することを加えるべきだと思います。
ただ証明でいちいち「ここで1 = 0ではないので…」と言及するのも面倒ですからねぇ。

数学はフィーリングで考えている部分も大きいので、零環でない体に共通するイメージの論理的妥当性を主張するために零環ではないという条件を持ち出さなければならないのは邪魔です。

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あけおめ 2018年 ~ ラストスパート ~

あけましておめでとうございます!

2018年、始まりましたね。
いかがお過ごしになったでしょうか。

今年もよろしくお願いしますと言いたいところなのですが、ご周知のとおり残り3ヶ月という短い期間で当ブログ「サイバー少年」は更新終了してしまいます。

この残り3ヶ月、まだ有限体の記事を書いていないので、それが先月中に書き終えるはずでしたから若干、遅れているのですが、とりあえず有限体の記事を書きます。

数学の勉強も、先月に群・環・体の本を読み終えましたし、最後にちょっと確認したい事項というのも、昨日の今日に命題が偽であることが判明しましたので、ひとまず終了ということになりました。

そんで、あとは有限体の記事でアウトプットしてから、しばらく数学とは関わりを持たないと思いますね。

およそ2年間、数学の勉強を続けてまいりました。
数学は面白いですが、私には難しいです。

本もノートも手に取らず、ひたすら頭の中で考え込んで数時間、なんて学問はめずらしいと思いますね。

今後、少なくともFEの春期試験が四月ですから、FEの勉強を終えてから数学に戻ってくるかどうかは、私が数学をやりたいと思えばそうなるでしょうし、FEの勉強で新たな(懐かしい?)世界が開けて、他の分野をやってみようかという気分になるかもしれませんね。

しかしながら、四月以降の話ですから、私がどうなったのかは現在の閲覧者の皆様は知り得ないことです。
こんなお別れを示唆する時が来るのも、昔じゃ想像できなかったですね~。

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tag: ブログ「サイバー少年」 数学 勉強 FE 情報 新年 目標 終活

12月

その他で覚えた技術
・方程式の解と係数の関係について知った。
・任意の有限体が、多項式環がなす商環による有限体と同型であることを学んだ。
・位数の等しい任意の有限体どうしは同型であることを学んだ。

コメント
群・環・体の本で解決していない疑問がひとつ残っていますが、本の内容はすべて理解して読み終えました。しかし実は、おまけの章として代数方程式論の序説があったのですが、説明がアバウトすぎて知識として成果になったのは方程式の解と係数の関係だけでした。おまけの章は本の内容から省いて勘定しています。今回は本を読み進めるというより、書いてあることを理解するために長時間、自分で考えていたのが目立つのと、全体的にペースは遅かったですね。

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2017年が終わる

いや~、昨年末の記事「気がつけば年の暮れ 2016」も真夜中に書きましたが、今年も真夜中というか曙というか…。
毎年、大晦日は夕方に起きて、オールナイトして元日の朝を満喫して寝るんですよね。
それに今から合わせています。

2017年、今年も終わりますね。
昨年末の上記リンクの記事でも言っていたことですが、同じく今年も早かった!

ところで、時間の流れが早いというのは、どういうことなのでしょうか。
いや、なにか時間以外の次元があって、それの進捗状況と時間との対応が普通より早いときに早いと表現するのは分かるのですが、

その理屈でいけば時間が早いというのは時間と時間を対応させているわけで、その対応は早いも遅いもなくて常に変わらないですからね。

一年の“満足度”という次元と時間を対応させて早いと言っているんですかね。
ただ、“満足度”の定義が曖昧で、なにをもって“満足度”を測るのか分かりませんが…。
考えると、「今年も早かった」というのは解釈が難しいセリフです。


なんて話は置いといて、今年の始めの記事「2017年 新年のご感想」で、「今年の抱負」なんてものは設定するのはやめたけど、目標程度は書きました。


というわけで、まとめればコンピュータ系との関わりを持つというのが、今年の目標ですね。

考えてみれば、サイバー少年という名前まで付けて、プログラミングについて書くブログだと銘打っているのに、数学ばっかりに傾倒してるのも、なにかおかしいですからね。



と、書いたのですが、なにかおかしい状態がさらに激化した一年でございました。

今年の三月まではF#の勉強をやっていたんですけどね。
それ以降は数学(とりわけ群・環・体)しかやってねえ!

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